В треугольнике АВС на сторое ВС выбрана точка К так, что СК : ВК = 1 : 2. Точка Е — середина стороны АВ. Отрезок СЕ и АК пересекаются в точке Р.
а) Докажите, что треугольники ВРС и АРС имеют равные площади.
б) Найдите площадь треугольника АВР, если площадь треугольника АВС равна 120.
а) СЕ — медиана треугольника АВС. Следовательно, S(ACE) = S(BCE). Аналогично РЕ — медиана треугольника АВР, S(APE) = S(BPE).
S(ACE) − S(APE) = S(BCE) − S(BPE). Или S(APC) = S(BPC), что и требовалось доказать.
б) Из условия задачи относительно расположении точки К также вытекает:
Если S(CP) = a, то S(BPK) = 2, S(APC) = 3.
Пусть S(APE) = S(BPE) = b. Тогда: S(AC) = 4a = 40, a = 10.
Но S(BCE) = 3a + b = 60. Значит, b = 60 − 3a = 30. В таком случае: S(ABP) = 2b = 60.
Ответ: 60.