Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дан куб

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит диа­го­наль куба в от­но­ше­нии 1 : 2.

Б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды если из­вест­но, что ребро куба равно 2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию АВСD, ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон АВ и СD в точ­ках К и М.

а)  До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от цен­тра окруж­но­сти до вер­шин тра­пе­ции равна сумме квад­ра­тов длин бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции АВСD, если из­вест­но, что AK  =  9, ВК  =  4, СМ  =  1.

Два на­со­са пе­ре­ка­чи­ва­ют нефть из двух ре­зер­ву­а­ров в тан­кер. Сна­ча­ла I‐й насос пе­ре­ка­чал всю нефть из пер­во­го ре­зер­ву­а­ра, затем нефть из вто­ро­го ре­зер­ву­а­ра была пе­ре­ка­ча­на вме­сте I‐м и II‐м на­со­са­ми. После того, как была пе­ре­ка­ча­на всей нефти, ока­за­лось, что время, не­об­хо­ди­мое для за­вер­ше­ния ра­бо­ты, в раза мень­ше вре­ме­ни, за ко­то­рое мог бы пе­ре­ка­чать всю нефть один I‐й насос. Кроме того, из­вест­но, что если бы из вто­ро­го ре­зер­ву­а­ра нефть пе­ре­ка­чи­вал толь­ко II‐й насос, то ему для этого по­тре­бо­ва­лось бы вдвое боль­ше вре­ме­ни, не­же­ли I‐ому на­со­су для пе­ре­кач­ки всей нефти из обоих ре­зер­ву­а­ров. Опре­де­ли­те, во сколь­ко раз про­из­во­ди­тель­ность I‐го на­со­са боль­ше про­из­во­ди­тель­но­сти II‐го.

Для каж­до­го зна­че­ния a най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

на от­рез­ке [-2; 2].

Мно­же­ство А со­сто­ит из всех про­стых чисел, не пре­вос­хо­дя­щих 50, взя­тых по од­но­му разу.

а)  Можно ли эле­мен­ты мно­же­ства А раз­бить на пять групп, в каж­дой из ко­то­рых сумма чисел будет чис­лом чётным?

б)  Можно ли эле­мен­ты мно­же­ства А раз­бить на пять групп, в каж­дой из ко­то­рых сумма чисел будет чис­лом нечётным?

в)  На какое наи­боль­шее число групп можно раз­бить эле­мен­ты мно­же­ства А так, чтобы сумма чисел во всех груп­пах была оди­на­ко­ва?