Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку С и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке Р.
а) Докажите, что треугольник АВР равнобедренный.
б) Найдите отношение, в котором хорда АВ делит диаметр СР, если известно, что 
а) Заметим, что радиус OC перпендикулярен касательной, поэтому хорда AB перпендикулярна диаметру PC, поэтому 
пересекает хорду AB в ее середине (PC именно серединный перпендикуляр, поскольку 
лежит на нем). Значит, в треугольнике 
медиана совпадает с высотой, поэтому он равнобедренный.
б) Треугольник 
прямоугольный, поскольку угол PAC опирается на диаметр. Далее 
поэтому 
По теореме синусов имеем также 
поэтому 
Пусть K — точка пересечения и 
Тогда:
Значит, 
и 
Ответ: б) 