Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Точка M пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K — середина стороны BC.
б) Найдите длину AK, если 
Решение.
Спрятать критерии
а) Имеем: 
(вертикальные углы, опирающиеся на одну дугу, соответственные), поэтому треугольники подобны по двум углам, угол K у них общий.
б) Пусть 
тогда 
поскольку медианы делятся точкой пересечения в отношении 
Из подобия треугольников AKB и BKM получаем: 
то есть 
откуда 
и 
Ответ: 
Методы геометрии: Свойства медиан, Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники