Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527266

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC расположены точки E и D соответственно так, что AD — биссектриса треугольника ABC, DE — биссектриса треугольника ABD, AE=ED= дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 , CD= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 .

а) Найдите AC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Решение.

а) Обозначим \angle EAD=\angle EDA=\alpha (треугольник EDA по условию равнобедренный), тогда и \angle BDE=\angle DAC=\alpha (поскольку DE и AD — биссектрисы). Тогда \angle ADC=180 в степени \circ минус 2\alpha и \angle ACD=180 в степени \circ минус (180 в степени \circ минус 2\alpha) минус \alpha=\alpha. Значит, треугольники AED и ADC подобны по двум углам, то есть AD=DC= дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 и  дробь, числитель — AE, знаменатель — AD = дробь, числитель — AD, знаменатель — AC , откуда AC=1.

б) Найдем сначала площадь равнобедренного треугольника ADC. Она равна:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 умножить на AC умножить на корень из { AD в степени 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 AC в степени 2 }= дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 8 .

Тогда S_{AED}=S_{ADC} умножить на левая круглая скобка дробь, числитель — AE, знаменатель — AD правая круглая скобка в степени 2 = дробь, числитель — 9 корень из { 5}, знаменатель — 128 . Далее, \angle EDA=\angle DAC, поэтому прямая ED параллельна прямой AC и треугольники BED и BAC подобны с коэффициентом  дробь, числитель — ED, знаменатель — AC = дробь, числитель — 9, знаменатель — 16 . Значит,

S_{EDAC}=S_{ABC} минус S_{BED}=S_{ABC} минус дробь, числитель — 81, знаменатель — 256 S_{ABC}= дробь, числитель — 175, знаменатель — 256 S_{ABC},

откуда

S_{ABC}= дробь, числитель — 256, знаменатель — 175 левая круглая скобка дробь, числитель — 9 корень из { 5}, знаменатель — 128 плюс дробь, числитель — корень из { 5}, знаменатель — 8 правая круглая скобка = дробь, числитель — 256, знаменатель — 175 умножить на дробь, числитель — 25 корень из { 5}, знаменатель — 128 = дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 корень из { 5}.

 

Ответ: а) 1; б)  дробь, числитель — 2, знаменатель — 7 корень из { 5}.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 249.
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники