Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 505745

Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.

а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.

б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то FG= дробь: числитель: DC, знаменатель: 2 конец дроби =AD. Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и AF=DG.

б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 49=64 плюс 81 минус 144 косинус C, откуда  косинус C= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем DG в квадрате =16 плюс 36 минус 48 косинус C=20, откуда DG=2 корень из 5.

 

Ответ: 2 корень из 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 65.
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Треугольники