Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 512447
i

Точка D лежит на сто­ро­не ВС тре­уголь­ни­ка АВС.

а)  До­ка­жи­те, что AD в квад­ра­те =AB в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби плюс AC в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби минус CD умно­жить на BD.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что AB=14,AC=11,BD=3,AD= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 145 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть AB=c,AD=d,AC=b,BD=a_1,CD=a_2,BC=a. (Рис.1)

Тогда: в \Delta ABD:d в квад­ра­те =c в квад­ра­те плюс a_1 в квад­ра­те минус 2a_1c ко­си­нус B; ко­си­нус B= дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те плюс a_1 в квад­ра­те минус d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2a_1c конец дроби левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

В \Delta ABC:b в квад­ра­те =c в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка c ко­си­нус B; ко­си­нус B= дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка c конец дроби левая круг­лая скоб­ка ** пра­вая круг­лая скоб­ка

В ра­вен­ствах (*) и (**) левые части равны, зна­чит, обя­за­ны быть рав­ны­ми и пра­вые части.

дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те плюс a_1 в квад­ра­те минус d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2a_1c конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка c конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те плюс a_1 в квад­ра­те минус d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 плюс a_2 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те минус d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 конец дроби плюс a_1= дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те минус b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 плюс a_2 конец дроби плюс a_1 плюс a_2 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те минус d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те минус b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 плюс a_2 конец дроби плюс a_2 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те минус d в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: c в квад­ра­те минус b в квад­ра­те плюс a_1, зна­ме­на­тель: a_2 конец дроби плюс a_2 в квад­ра­те a_1 плюс a_2 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка c в квад­ра­те минус d в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка =a_1 левая круг­лая скоб­ка c в квад­ра­те минус b в квад­ра­те плюс a_1a_2 плюс a_2 в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но a_1c в квад­ра­те минус a_1d в квад­ра­те плюс a_2c в квад­ра­те минус a_2d в квад­ра­те =a_1c в квад­ра­те минус a_1b в квад­ра­те плюс a_1a_2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

рав­но­силь­но минус a_1d в квад­ра­те плюс a_2c в квад­ра­те минус a_2d в квад­ра­те = минус a_1b в квад­ра­те плюс a_1a_2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но a_1a_2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка d в квад­ра­те =a_2c в квад­ра­те плюс a_1b в квад­ра­те рав­но­силь­но

левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка d в квад­ра­те =a_2c в квад­ра­те плюс a_1b в квад­ра­те минус a_1a_2 левая круг­лая скоб­ка a_1 плюс a_2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

ad в квад­ра­те =a_2c в квад­ра­те плюс a_1b в квад­ра­те минус a_1a_2a рав­но­силь­но d в квад­ра­те =c в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a_2, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс b в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: a_1, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус a_1a_2.

 

Зна­чит, BD в квад­ра­те =AB в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби плюс AC в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби минус BD умно­жить на CD, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б)  По тео­ре­ме Стю­ар­та (до­ка­за­но выше):

AD в квад­ра­те =AB в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби плюс AC в квад­ра­те умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BD, зна­ме­на­тель: BC конец дроби минус BD умно­жить на CD. (См. рис. 2).

145=196 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: x, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби плюс 121 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби минус 3x;

145x плюс 435=196x плюс 363 минус 3x в квад­ра­те минус 9x рав­но­силь­но 3x в квад­ра­те минус 42x плюс 72=0 рав­но­силь­но x в квад­ра­те минус 14x плюс 24=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x=2 , новая стро­ка x=12 . конец со­во­куп­но­сти .

Если x=2, то BC=5,p=15;S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 умно­жить на 1 умно­жить на 10 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 умно­жить на 5 умно­жить на 2 умно­жить на 5 умно­жить на 4 конец ар­гу­мен­та =5 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та =10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Если x=12, то BC=15,p=20;S левая круг­лая скоб­ка ABC пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 20 умно­жить на 6 умно­жить на 5 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 5 умно­жить на 6 умно­жить на 5 умно­жить на 9 конец ар­гу­мен­та =2 умно­жить на 5 умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та =30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та ;30 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 135
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025