Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527511
i

В окруж­ность с цен­тром О впи­сан тре­уголь­ник ABC левая круг­лая скоб­ка \angle A боль­ше дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Про­дол­же­ние бис­сек­три­сы AF угла A этого тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке L, а ра­ди­ус AO пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну BC в точке E. Пусть AH  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Из­вест­но, что AL=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , AH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , \angle AEH= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

а)  До­ка­жи­те, что AF  — бис­сек­три­са угла EAH.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка OAL к пло­ща­ди че­ты­рех­уголь­ни­ка OEFL.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим \angle HAC= альфа . Тогда

\angle ACH=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус альфа ,

\angle AOB=2\angle ACB=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 альфа

по тео­ре­ме о впи­сан­ном угле. По­сколь­ку тре­уголь­ник ABO рав­но­бед­рен­ный,

\angle BAO= дробь: чис­ли­тель: 180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle AOB, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = альфа =\angle HAC.

Зна­чит

\angle EAF=\angle FAB минус \angle EAB=\angle FAC минус \angle HAC=\angle FAH,

по­это­му AF  — бис­сек­три­са угла EAH.

б)  По­сколь­ку

\angle EAH=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle AHE минус \angle AEH=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му \angle EAF= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \angle EAH=15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Тре­уголь­ник AOL  — рав­но­бед­рен­ный, по­это­му \angle LOA=150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка AOL по­лу­ча­ем дробь: чис­ли­тель: R, зна­ме­на­тель: синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AL, зна­ме­на­тель: синус 150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби , от­ку­да R=8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Пло­щадь AOL равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби R в квад­ра­те синус 150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =32 синус в квад­ра­те 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

В тре­уголь­ни­ке AEH имеем

AE= дробь: чис­ли­тель: AH, зна­ме­на­тель: синус \angle AEH конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

EH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AE= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Из тре­уголь­ни­ка AFH имеем

FH=AH тан­генс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та тан­генс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му

EF= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та тан­генс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

Зна­чит,

S_EFA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби EF умно­жить на AH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та тан­генс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

S_OEFL:S_AOL=1 минус S_AEF:S_AOL=1 минус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та тан­генс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­рень 4 сте­пе­ни из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 32 синус в квад­ра­те 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =

=1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та тан­генс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 64 синус в квад­ра­те 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 1 минус дробь: чис­ли­тель: 2 ко­си­нус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 64 ко­си­нус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =

=1 минус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­си­нус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 16 ко­си­нус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: синус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8 синус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =

=1 минус дробь: чис­ли­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 8 синус 30 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = 1 минус дробь: чис­ли­тель: синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 4 умно­жить на синус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =1 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Зна­чит, S_AOL:S_OEFL= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 266
Методы геометрии: Тео­ре­ма си­ну­сов, Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025