Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 505655

Биссектриса CD угла ACB при основании равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) делит сторону AB так, что AD = BC = 2.

а) Докажите, что CD = BC.

б) Найдите площадь треугольника ABC.

Спрятать решение

Решение.

а) По свойству биссектрисы получим:

 дробь: числитель: AC, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: BD конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: a минус 2 конец дроби \Rightarrowa в квадрате минус 2a минус 4 = 0 равносильно

 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 5\Rightarrowa = 1 плюс корень из 5.

Воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:

 дробь: числитель: BC, знаменатель: синус \angle A конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: синус \angle B конец дроби \Rightarrow дробь: числитель: 2, знаменатель: синус левая круглая скобка 180 градусов минус 4 альфа правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 1 плюс корень из 5, знаменатель: синус 2 альфа конец дроби

\Rightarrow2 синус 2 альфа = левая круглая скобка 1 плюс корень из 5 правая круглая скобка синус 4 альфа \Rightarrow косинус 2 альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 плюс корень из 5 конец дроби равносильно

 равносильно косинус 2 альфа = дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс корень из 5 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 4 конец дроби .

Осталось по теореме косинусов найти CD из треугольника BCD:

CD в квадрате = BC в квадрате плюс BD в квадрате минус 2 умножить на BC умножить на BD умножить на косинус \angle B\Rightarrow

 

CD в квадрате = 4 плюс левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 2 умножить на 2 умножить на левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: корень из 5 минус 1, знаменатель: 4 конец дроби =

 

= 4 плюс левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка корень из 5 минус 1 правая круглая скобка в квадрате = 4\RightarrowCD = 2.

Таким образом, CD = BC = 2. Что и требовалось доказать.

 

 

б) Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

S = корень из p левая круглая скобка p минус a правая круглая скобка левая круглая скобка p минус b правая круглая скобка левая круглая скобка p минус c правая круглая скобка ,где p = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 1 плюс корень из 5 плюс 2 плюс 1 плюс корень из 5 правая круглая скобка = 2 плюс корень из 5 .

S_ABC= корень из левая круглая скобка 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 плюс корень из 5 минус левая круглая скобка 1 плюс корень из 5 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 плюс корень из 5 минус 2 правая круглая скобка = корень из корень из 5 левая круглая скобка 2 плюс корень из 5 правая круглая скобка = корень из 5 плюс 2 корень из 5.

 

Ответ: S_ABC = корень из 5 плюс 2 корень из 5.

 

Примечание: в данной задаче получилось, что ADC равнобедренный, откуда \angle A = \angle ACD = альфа , откуда 180 градусов минус 4 альфа = альфа \Rightarrow альфа = 36 градусов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 50.
Классификатор планиметрии: Треугольники