Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505655
i

Бис­сек­три­са CD угла ACB при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (AB = AC) делит сто­ро­ну AB так, что AD  =  BC  =  2.

а)  До­ка­жи­те, что CD = BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По свой­ству бис­сек­три­сы по­лу­чим:

дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: AD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: BD конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: a минус 2 конец дроби \Rightarrowa в квад­ра­те минус 2a минус 4 = 0 рав­но­силь­но

левая круг­лая скоб­ка a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 5\Rightarrowa = 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка ABC:

дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус \angle A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AC, зна­ме­на­тель: синус \angle B конец дроби \Rightarrow дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 4 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус 2 альфа конец дроби

\Rightarrow2 синус 2 альфа = левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка синус 4 альфа \Rightarrow ко­си­нус 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но

рав­но­силь­но ко­си­нус 2 альфа = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Оста­лось по тео­ре­ме ко­си­ну­сов найти CD из тре­уголь­ни­ка BCD:

CD в квад­ра­те = BC в квад­ра­те плюс BD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на BC умно­жить на BD умно­жить на ко­си­нус \angle B\Rightarrow

 

CD в квад­ра­те = 4 плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =

 

= 4 плюс левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = 4\RightarrowCD = 2.

Таким об­ра­зом, CD = BC = 2. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

 

б)  Най­дем пло­щадь тре­уголь­ни­ка по фор­му­ле Ге­ро­на:

S = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: p левая круг­лая скоб­ка p минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус b пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка p минус c пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та ,где p = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та плюс 2 плюс 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та .

S_ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: S_ABC = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

 

При­ме­ча­ние: в дан­ной за­да­че по­лу­чи­лось, что ADC рав­но­бед­рен­ный, от­ку­да \angle A = \angle ACD = альфа , от­ку­да 180 гра­ду­сов минус 4 альфа = альфа \Rightarrow альфа = 36 гра­ду­сов.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 50
Методы геометрии: Свой­ства бис­сек­трис, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025