Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521088

На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС как на стороне построен квадрат вне треугольника.

а) Докажите, что прямая, соединяющая центр квадрата и центр вписанной в треугольник АВС окружности, проходит через точку С.

б) Найдите расстояние между центром квадрата и центром вписанной в треугольник АВС окружности, если известно, что AC = 4 корень из { 2} , BC = 3 корень из { 2}.

Решение.

а) Пристроим к квадрату еще три треугольника, равных исходному, как показано на рисунке. Тогда GF параллельна CB,  GF=CB, поэтому  GFBC — параллелограмм и середины отрезков  GB и  CF совпадают. Поэтому центр квадрата  AGEB лежит на биссектрисе  CF угла  C. Там же лежит центр окружности, вписанной в треугольник  ABC.

б) Обозначим центра квадрата за  O, центр окружности за  I. Тогда:

OI=OC минус IC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CF минус корень из { 2}r_{ABC}= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 CD минус корень из { 2} умножить на дробь, числитель — AC умножить на CB, знаменатель — AC плюс CB плюс AB =

 

= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 умножить на 7 корень из { 2} минус корень из { 2} умножить на дробь, числитель — 24, знаменатель — 4 корень из { 2 плюс 3 корень из { 2} плюс 5 корень из { 2}}= 7 минус 2=5.

Ответ: б) 5.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 174.
Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники