Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и A1C1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке A2.
а) Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.
б) Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны 
а высоты треугольника A1B1C1 равны 
а) Пусть O — точка пересечения
В 
по теореме Менелая:
Аналогично: в 
в 
Перемножим левые и правые части равенств (*), (**), (***). Будем иметь:
В итоге получаем: 
что удовлетворяет условию теоремы Менелая относительно принадлежности точек: 
одной прямой.
б) Пусть 
— стороны 
При этом 
— соответствующие его высоты. Тогда: 
Итак,
Получили стороны треугольника ABC выражаются через а: 
Пусть 
— стороны 
При этом 
— соответствующие его высоты. Тогда: 
Стороны 
АВС : 
Разделим почленно равенство (4) на равенство (2).
То есть 
Из равенств (1) и (2) получим: 
Следовательно, мы вправе равенство (5) переписать так:
Разделив обе части равенства (5*) на 
получим:
Ответ: б) 