СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512440

Даны треугольники ABC и A1B1C1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке. Прямые AB и A1B1 пересекаются в точке C2. Прямые АС и AC1 пересекаются в точке B2. Прямые BC и B1C1 пересекаются в точке A2.

а) Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат на одной прямой.

б) Найдите отношение площади треугольника A1B1C1 и площади треугольника ABC, если высоты треугольника ABC равны а высоты треугольника A1B1C1 равны

Решение.

а) Пусть — точка пересечения

В по теореме Менелая:

Аналогично: в

в

 

 

Перемножим левые и правые части равенств (*), (**), (***). Будем иметь:

 

В итоге получаем: что удовлетворяет условию теоремы Менелая относительно принадлежности точек: одной прямой.

 

б) Пусть — стороны При этом — соответствующие его высоты. Тогда:

Итак,

Получили стороны треугольника ABC выражаются через а:

 

Пусть — стороны При этом — соответствующие его высоты. Тогда:

Стороны АВС :

 

Разделим почленно равенство (4) на равенство (2).

То есть

Из равенств (1) и (2) получим: Следовательно, мы вправе равенство (5) переписать так:

Разделив обе части равенства (5*) на получим:

или

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 134.
Методы геометрии: Свойства высот, Теорема Менелая
Классификатор планиметрии: Треугольники