СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512440

Даны тре­уголь­ни­ки ABC и A1B1C1. Пря­мые AA1, BB1, CC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке. Пря­мые AB и A1B1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке C2. Пря­мые АС и AC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке B2. Пря­мые BC и B1C1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке A2.

а) До­ка­жи­те, что точки A2, B2, C2 лежат на одной пря­мой.

б) Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка A1B1C1 и пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, если вы­со­ты тре­уголь­ни­ка ABC равны а вы­со­ты тре­уголь­ни­ка A1B1C1 равны

Ре­ше­ние.

а) Пусть — точка пе­ре­се­че­ния

В по тео­ре­ме Ме­не­лая:

Ана­ло­гич­но: в

в

 

 

Пе­ре­мно­жим левые и пра­вые части ра­венств (*), (**), (***). Будем иметь:

 

В итоге по­лу­ча­ем: что удо­вле­тво­ря­ет усло­вию тео­ре­мы Ме­не­лая от­но­си­тель­но при­над­леж­но­сти точек: одной пря­мой.

 

б) Пусть — сто­ро­ны При этом — со­от­вет­ству­ю­щие его вы­со­ты. Тогда:

Итак,

По­лу­чи­ли сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC вы­ра­жа­ют­ся через а:

 

Пусть — сто­ро­ны При этом — со­от­вет­ству­ю­щие его вы­со­ты. Тогда:

Сто­ро­ны АВС :

 

Раз­де­лим почлен­но ра­вен­ство (4) на ра­вен­ство (2).

То есть

Из ра­венств (1) и (2) по­лу­чим: Сле­до­ва­тель­но, мы впра­ве ра­вен­ство (5) пе­ре­пи­сать так:

Раз­де­лив обе части ра­вен­ства (5*) на по­лу­чим:

или

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 134.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники