СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511219

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 3 и BC = 2 проведены медиана CM и биссектриса CL.

а) Докажите, что площадь треугольника CML составляет одну десятую часть от площади треугольника ABC.

б) Найдите угол MCL.

Решение.

Геометрический способ решения.

а) По теореме Пифагора:

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе,

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Если то значит, точка L лежит между M и В.

 

Так как треугольники CML и ABC с основаниями ML и AB соответственно имеют равные высоты, проведенные к этим сторонам из их общей вершины С, то:

что и требовалось доказать.

 

б) Проведем MD — среднюю линию треугольника ACB. Тогда

 

 

Координатно-векторный способ решения.

Поместим заданный треугольник в декартову систему координат, как показано на рис. Выпишем координаты некоторых точек: A(0; 3), B(2; 0).

а) По теореме Пифагора:

По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе:

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

Найдем координаты точки L используя формулы деление отрезка в данном отношении

 

 

 

 

что и требовалось доказать.

б)

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 122.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники