Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 514570

Медиана AA1 и BB1 треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке O.

а) Докажите, что CO = AB.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что AC = 4, BC = 3.

Спрятать решение

Решение.

а) Проведем медиану CC_1 (она пройдет через точку O) и продлим ее (до точки K) за точку C_1 на расстояние OC_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OC. Тогда четырехугольник AOBK — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения))с прямым углом, поэтому его диагонали равны, то есть AB=OK=CO, что и требовалось.

б) Пусть AO=2y, OA_1=y, BO=2x, OB_1=x. По теореме пифагора имеем 2=AB_1= корень из 4y в квадрате плюс x в квадрате , откуда 4y в квадрате плюс x в квадрате =4.

Аналогично 4x в квадрате плюс y в квадрате = дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби . Решая эти уравнения, находим x= дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 3 конец дроби , y= дробь: числитель: корень из 11, знаменатель: корень из 12 конец дроби .

Тогда S_ABC=3S_ACO=6S_AOB_1=6 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AO умножить на OB_1=6xy= корень из 11.

 

Ответ:  корень из 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 156.
Методы геометрии: Свойства медиан
Классификатор планиметрии: Треугольники