Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и BP.
а) Докажите, что углы АКР и ABP равны.
б) Найдите длину отрезка PK, если известно, что AB = 5, BC = 6, CA = 4.
Решение.
Спрятать критерии
\sqrt{x}а) Заметим, что точки K и P лежат на окружности с диаметром AB (поскольку 
Поэтому четырехугольник APKB вписанный и 
поскольку они опираются на одну дугу.
б) Из вписанности получаем 
поэтому треугольники CPK и CBA подобны по двум углам, так как угол C общий. Вычислим коэффициент подобия.
По теореме косинусов, в треугольнике ABC имеем: 
поэтому 
Следовательно, 
по определению косинуса из треугольника AKC. Это и есть коэффициент подобия. Окончательно: 
Ответ: 
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Вписанный угол, опирающийся на диаметр, Подобие, Треугольники