СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 527205

Окружность с центром О, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC и BC в точках и соответственно. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке Q, лежащей внутри треугольника

А) Докажите, что  — биссектриса угла

Б) Найдите расстояние от точки О до центра окружности, вписанной в треугольник если известно, что

Решение.

а) Поскольку биссектриса проходит через центр вписанной окружности треугольника, точка Q — середина дуги вписанной окружности треугольника ABC. Поэтому дуги и равны. Значит, равны и углы и  — первый из них равен половине первой дуги как угол между касательной и хордой, а второй равен половине второй дуги как вписанный угол, опирающийся на нее.

б) Как следует из пункта а), точка Q — пересечение биссектрис треугольника то есть его центр вписанной окружности. Поэтому нужно найти Вычислим:

 

Поэтому

 

Ответ: б) 2.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 243.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники