СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521184

Две окружности пересекаются в точках А и В так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка АВ. Через точку А проведены касательные к этим окружностям АС и АЕ (точка С лежит на первой окружности, а точка Е — на второй). Площадь четырехугольника АСВЕ в 5 раз больше площади треугольника АВС, BD — биссектриса угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а) Найти отношение длин отрезков АВ и ВС.

б) Найти значения чисел p и q, если

Решение.

а) Из условия про площади следует, что Заметим, что треугольники и подобны по двум углам: (первый — угол между касательной и хордой к большой окружности, второй — вписанный угол в ней же, оба равны половине дуги AB) и аналогично Коэффициент подобия равен поэтому

б) Из того же подобия получаем, что По свойству биссектрисы тогда Имеем:

Ответ: а)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 185.
Методы геометрии: Использование векторов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники