Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие ин­тер­ва­лу

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ точка М лежит на ребре DD₁ так,  что DM : D₁M  =  1 : 2. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точки  А и М па­рал­лель­но ВD₁, пе­ре­се­ка­ет ребро СD в точке Р.  

а)  До­ка­жи­те, что СР  =  DP. 

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти АМР, если из­вест­но, что АВ  =  12, ВС  =  9, АА₁  =  36.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Точка К лежит на диа­мет­ре АВ окруж­но­сти с цен­тром О. С и D  — точки окруж­но­сти, рас­по­ло­жен­ные по одну сто­ро­ну от АВ, при­чем ∠OCK = ∠ODK.

а)  До­ка­жи­те, что ∠CKB = ∠DKA.

б)  Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка с вер­ши­на­ми в точ­ках А, В, С, D, если из­вест­но, что ОК  =  3,6, ВК  =  9,6, ∠OCK = ∠ODK  =  30°.

Два оди­на­ко­вых бас­сей­на од­но­вре­мен­но на­ча­ли на­пол­нять­ся водой. В пер­вый бас­сейн по­сту­па­ет в час на 30 м³ боль­ше воды, чем во вто­рой. В не­ко­то­рый мо­мент в двух бас­сей­нах вме­сте ока­за­лось столь­ко воды, сколь­ко со­став­ля­ет объем каж­до­го из них. После этого через 2 ч 40 мин на­пол­нил­ся пер­вый бас­сейн, а еще через 3 ч 20 мин  — вто­рой. Сколь­ко воды по­сту­па­ло в час во вто­рой бас­сейн? За какое время на­пол­нил­ся вто­рой бас­сейн?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний 

не имеет ре­ше­ний.

На  доске  за­пи­са­ны  два  на­ту­раль­ных числа: 672 и 560. За один ход раз­ре­ша­ет­ся любое из этих чисел за­ме­нить  мо­ду­лем их раз­но­сти либо умень­шить вдвое  (если число чётное).  

а)  Может ли через не­сколь­ко ходов на доске ока­зать­ся два оди­на­ко­вых числа?  

б)  Может ли через не­сколь­ко ходов на доске ока­зать­ся число 2?   

в)  Най­ди­те наи­мень­шее на­ту­раль­ное число, ко­то­рое может ока­зать­ся на доске в ре­зуль­та­те вы­пол­не­ния таких ходов.