Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521831
i

В ту­по­уголь­ном тре­уголь­ни­ке АВС (\angleС  — тупой) на вы­со­те ВН как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны АВ и СВ в точ­ках Р и К со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что синус \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: PH, зна­ме­на­тель: BC конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: KH, зна­ме­на­тель: BA конец дроби .

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка РК, если из­вест­но, что ВА  =  13, ВС  =  8, синус \angle ABC= дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 26 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)   дробь: чис­ли­тель: PH, зна­ме­на­тель: BC конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: KH, зна­ме­на­тель: BA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: PH умно­жить на BA минус KH умно­жить на BC, зна­ме­на­тель: BC умно­жить на BA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2S_ABH минус 2S_CBH, зна­ме­на­тель: 2S_ABC: синус \angle ABC конец дроби = синус \angle ABC. Здесь ис­поль­зо­ва­но, что \angle HKB=\angle HPB=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , по­сколь­ку эти углы опи­ра­ют­ся на диа­метр.

 

б)   ко­си­нус \angle ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус дробь: чис­ли­тель: 147, зна­ме­на­тель: 676 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби , от­ку­да по тео­ре­ме ко­си­ну­сов AC в квад­ра­те =169 плюс 64 минус 2 умно­жить на 8 умно­жить на 13 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби =49

и AC=7.

 

S_ABC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 умно­жить на 1 умно­жить на 7 умно­жить на 6 конец ар­гу­мен­та =14 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , по­это­му BH=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та и AH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 в квад­ра­те минус 48 конец ар­гу­мен­та =11, от­ку­да CH=4.

 

По тео­ре­ме си­ну­сов тогда дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: синус \angle ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 8, зна­ме­на­тель: синус \angle CAB конец дроби , от­ку­да синус \angle CAB= дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби , по­это­му HP=AH умно­жить на синус \angle CAB= дробь: чис­ли­тель: 44 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 13 конец дроби . В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CHB имеем CH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби CB, от­ку­да \angle HCB=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка и HK=HC умно­жить на синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

 

Далее, \angle KHP=\angle CBA как опи­ра­ю­щи­е­ся на ону дугу KP в окруж­но­сти. Зна­чит, ко­си­нус \angle KHP= дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби . Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

KP в квад­ра­те = дробь: чис­ли­тель: 44 в квад­ра­те умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 13 в квад­ра­те конец дроби плюс 12 минус 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 88 умно­жить на 3, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1764, зна­ме­на­тель: 169 конец дроби , от­ку­да KP= дробь: чис­ли­тель: 42, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 42, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 236
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025