Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521169
i

Окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мых АВ и ВС со­от­вет­ствен­но в точ­ках D и Е. Точка А лежит между В и D, а тока С  — между В и Е. Точки А, D, Е, С лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­зать, что тре­уголь­ни­ки АВС и DВЕ по­доб­ны.

б)  Найти пло­щадь ABC, если АС  =   8 и ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC, равен 1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Из впи­сан­но­сти че­ты­рех­уголь­ни­ка ADEC по­лу­ча­ем:

\angle ADE=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle ACE=\angle BCA,

по­это­му тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам (угол B у них общий).

б)  По­сколь­ку тре­уголь­ник DBE рав­но­бед­рен­ный (ка­са­тель­ные из одной точки равны), то и тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный. Пусть AB=BC=x, тогда:

S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 8 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 16 конец ар­гу­мен­та ,

и ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен:

дробь: чис­ли­тель: 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 16 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 плюс x конец дроби =1.

Решим это урав­не­ние:

4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 16 конец ар­гу­мен­та = левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но 16 левая круг­лая скоб­ка x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка x плюс 4 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 16x минус 64=x плюс 4 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: 68, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Со­кра­щать на x плюс 4 можно, оно не равно нулю, по­это­му:

S= левая круг­лая скоб­ка 4 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка r=4 плюс x= дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 128, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 183
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025