а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция АВСD с ос­но­ва­ни­я­ми BC и АD. Точка К  — се­ре­ди­на ребра Плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ны ребер AB и па­рал­лель­но пря­мой

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ни­ем приз­мы плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объем боль­шей части приз­мы, на ко­то­рые ее раз­би­ва­ет плос­кость если из­вест­но, что

Ре­ши­те не­ра­вен­ство 

Хорда AB окруж­но­сти па­рал­лель­на ка­са­тель­ной, про­хо­дя­щей через точку C, ле­жа­щую на окруж­но­сти. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку С и центр окруж­но­сти, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке Р.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АВР рав­но­бед­рен­ный.   

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром хорда АВ делит диа­метр  СР, если из­вест­но, что  

Не­ко­то­рое пред­при­я­тие при­но­сит убыт­ки, со­став­ля­ю­щие 300 млн руб. в год. Для пре­вра­ще­ния его в рен­та­бель­ное было пред­ло­же­но уве­ли­чить ас­сор­ти­мент про­дук­ции. Под­сче­ты по­ка­за­ли, что до­пол­ни­тель­ные до­хо­ды, при­хо­дя­щи­е­ся на каж­дый новый вид про­дук­ции, со­ста­вят 84 млн руб. в год, а до­пол­ни­тель­ные рас­хо­ды, ока­жут­ся рав­ны­ми 5 млн руб. в год при осво­е­нии од­но­го но­во­го вида, но осво­е­ние каж­до­го по­сле­ду­ю­ще­го по­тре­бу­ет на 5 млн руб. в год боль­ше рас­хо­дов, чем осво­е­ние преды­ду­ще­го. Какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство видов новой про­дук­ции не­об­хо­ди­мо осво­ить, чтобы пред­при­я­тие стало рен­та­бель­ным? Какой наи­боль­шей го­до­вой при­бы­ли может до­бить­ся пред­при­я­тие за счет уве­ли­че­ния ас­сор­ти­мен­та про­дук­ции?

Урав­не­ние с це­лы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми имеет три раз­лич­ных корня. Ока­за­лось, что пер­вый ко­рень яв­ля­ет­ся си­ну­сом, вто­рой  — ко­си­ну­сом, а тре­тий  — тан­ген­сом од­но­го и того же угла. Най­ди­те все такие урав­не­ния.

В каж­дой клет­ке таб­ли­цы раз­ме­ром за­пи­са­ны числа от 1 до 9 (см рис.). За один ход раз­ре­ша­ет­ся к двум со­сед­ним чис­лам (клет­ки имеют общую сто­ро­ну) при­ба­вить одно и то же целое число.

а)  Можно ли таким об­ра­зом по­лу­чить таб­ли­цу, во всех клет­ках ко­то­рой будут оди­на­ко­вые числа?

б)  Можно ли таким об­ра­зом по­лу­чить таб­ли­цу, со­став­лен­ную из одной еди­ни­цы в цен­тре и вось­ми нулей?

в)  После не­сколь­ких ходов в таб­ли­це ока­за­лись во­семь нулей и какое‐то число N, от­лич­ное от нуля. Най­ди­те все воз­мож­ные N