К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.
а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.
б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.
а) Назовем центры окружностей 
и 
точки касания с внешней касательной K и N соответственно, точки касания с внутренними — за L, 
M, 
точку пересечения внутренних касательных и линии центров за 
(см. рис.). Очевидно, 
— прямоугольная трапеция. Опустим из середины 
перпендикуляр на KN — это будет средняя линия, поэтому для отрезка KN это будет серединный перпендикуляр. Осталось доказать, что 
тогда и для отрезка AB это будет серединный перпендикуляр.
Для этого воспользуемся следующим фактом: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Значит, 
(по два отрезка из точки T). Тогда:
Итак, 
откуда 
б) Поскольку 
находим 
Тогда, по теореме Пифагора, 
аналогично, 
Тогда 
Но:
Поэтому 
Ответ: б) 12.