СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 514889

К двум окружностям, не имеющим общих точек, проведены три общие касательные: одна внешняя и две внутренние. Пусть А и В — точки пересечения общей внешней касательной с общими внутренними.

а) Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры окружностей, одинаково удалена от точек А и В.  

б) Найдите расстояние между точками А и В, если известно, что радиусы окружностей равны 6 и 3 соответственно, а расстояние между центрами окружностей равно 15.

Решение.

а) Назовем центры окружностей и точки касания с внешней касательной и соответственно, точки касания с внутренними — за точку пересечения внутренних касательных и линии центров за (см. рисунок). Очевидно,  — прямоугольная трапеция. Опустим из середины перпендикуляр на  — это будет средняя линия, поэтому для отрезка это будет серединный перпендикуляр. Осталось доказать, что тогда и для отрезка это будет серединный перпендикуляр.

Для этого воспользуемся следующим фактом: отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны. Значит, (по два отрезка из точки T). Тогда:

Итак, откуда

б) Поскольку находим Тогда, по теореме Пифагора, аналогично, Тогда Но:

Поэтому

 

Ответ: б) 12.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 164.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники