Дано уравнение

а) Решите уравнение.

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диа­го­на­ля­ми АС = 8 и ВD = 6. Бо­ко­вое  ребро BB₁ равно 12. На  ребре BB₁ от­ме­че­на точка M так, что BM : B₁M = 1 : 7.

а) До­ка­жи­те, что пря­мая MD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти АСD₁. 

б) Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MACD₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

К двум окруж­но­стям, не име­ю­щим общих точек, про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внеш­няя и две внут­рен­ние. Пусть А и В — точки пе­ре­се­че­ния общей внеш­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внут­рен­ни­ми.

а) До­ка­жи­те, что се­ре­ди­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го цен­тры окруж­но­стей, оди­на­ко­во уда­ле­на от точек А и В.  

б) Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми А и В, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 6 и 3 со­от­вет­ствен­но, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 15.

Три станка‐автомата разной мощности должны изготовить по 800 деталей. Сначала запустили первый станок, спустя 20 мин. — второй, а еще через 35 мин. — третий. Каждый из них работал без сбоев и остановок, причем в ходе  работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания. На сколько минут раньше второго станка закончил работу третий, если первый справился с заданием через 1 ч. 28 мин. после третьего?

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Может ли сумма четырех попарно различных дробей вида (где ):

а) равняться 1,3;    

б) равняться 1,001;   

в) принимать значение из интервала