Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит ромб с диа­го­на­ля­ми АС  =  8 и ВD  =  6. Бо­ко­вое  ребро BB₁ равно 12. На  ребре BB₁ от­ме­че­на точка M так, что BM : B₁M  =  1 : 7.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая MD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти АСD₁. 

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды MACD₁.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

К двум окруж­но­стям, не име­ю­щим общих точек, про­ве­де­ны три общие ка­са­тель­ные: одна внеш­няя и две внут­рен­ние. Пусть А и В  — точки пе­ре­се­че­ния общей внеш­ней ка­са­тель­ной с об­щи­ми внут­рен­ни­ми.

а)  До­ка­жи­те, что се­ре­ди­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го цен­тры окруж­но­стей, оди­на­ко­во уда­ле­на от точек А и В.  

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми А и В, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 6 и 3 со­от­вет­ствен­но, а рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей равно 15.

Три стан­ка‐ав­то­ма­та раз­ной мощ­но­сти долж­ны из­го­то­вить по 800 де­та­лей. Сна­ча­ла за­пу­сти­ли пер­вый ста­нок, спу­стя 20 мин.  — вто­рой, а еще через 35 мин.  — тре­тий. Каж­дый из них ра­бо­тал без сбоев и оста­но­вок, при­чем в ходе  ра­бо­ты был мо­мент, когда каж­дый ста­нок вы­пол­нил одну и ту же часть за­да­ния. На сколь­ко минут рань­ше вто­ро­го стан­ка за­кон­чил ра­бо­ту тре­тий, если пер­вый спра­вил­ся с за­да­ни­ем через 1 ч. 28 мин. после тре­тье­го?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно одно ре­ше­ние.

Может ли сумма че­ты­рех по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида (где ):

а)  рав­нять­ся 1,3;    

б)  рав­нять­ся 1,001;   

в)  при­ни­мать зна­че­ние из ин­тер­ва­ла