Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те его корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ AB  =  AA₁  =  6, BC  =  4. Точка P  — се­ре­ди­на ребра AB, точка M лежит на ребре DD₁ так, что DM : D₁D  =  2 : 3. 

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВD₁ па­рал­лель­на плос­ко­сти MPC.  

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью MPC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD (BC и АD  — ос­но­ва­ния) равна длине её сред­ней линии. 

а)  До­ка­жи­те, что диа­го­на­ли тра­пе­ции пер­пен­ди­ку­ляр­ны. 

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, ка­са­ю­щей­ся сто­рон AB, BC и СD тра­пе­ции, если из­вест­но, что BC  =  4, АD  =  6.

В 2011‐м году во время празд­но­ва­ния сво­е­го дня рож­де­ния я об­на­ру­жил, что если между циф­ра­ми моего года рож­де­ния вста­вить знаки дей­ствий «×»,  «+»,  «×», то по­лу­чи­лось бы вы­ра­же­ние, рав­ное моему то­гдаш­не­му воз­рас­ту. Сколь­ко лет мне ис­пол­нит­ся в 2017‐м году?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет не менее трёх раз­лич­ных кор­ней.

Рас­смат­ри­ва­ют­ся дроби вида где

а)  Может ли сумма не­сколь­ких по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида быть целым чис­лом?

б)  Может ли сумма двух раз­лич­ных дро­бей вида рав­нять­ся дроби вида

в)  Най­ди­те наи­мень­шее ко­ли­че­ство по­пар­но раз­лич­ных дро­бей вида сумма ко­то­рых будет боль­ше 10.