ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 505915 Добавить в вариант

Найти высоту равнобедренного треугольника, проведенную его боковой стороне, равной 2, если синус одного его угла равен косинусу другого.

Спрятать решение

Решение.

Пусть углы этого треугольника равны $альфа ,$ $альфа ,$ $Пи минус 2 альфа .$ Возможны три варианта.

1)   $синус альфа = косинус левая круглая скобка Пи минус 2 альфа правая круглая скобка .$

$синус альфа = минус косинус 2 альфа ,$ $2 синус в квадрате альфа минус синус альфа минус 1=0.$

$синус альфа =1$ или $синус альфа = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ что невозможно в равнобедренном треугольнике.

2)   $косинус альфа = синус левая круглая скобка Пи минус 2 альфа правая круглая скобка .$

$косинус альфа =2 синус альфа косинус альфа ,$ $косинус альфа левая круглая скобка 1 минус 2 синус альфа правая круглая скобка =0.$

$косинус альфа =0$ или $синус альфа = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ,$ откуда углы треугольника равны 30°, 30°, 120°.

Тогда высота к боковой стороне проходит снаружи и является большим катетом в прямоугольном треугольнике с углом 30° и гипотенузой 2, откуда его длина равна $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

3)   $синус альфа = косинус альфа .$ В этом случае треугольник является равнобедренным прямоугольным, а высота, проведенная к боковой стороне, является боковой стороной и равна 2.

Ответ: 2 или $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 12

Классификатор планиметрии: Треугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь