СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521674

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен Окружность радиуса касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.

а) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный

б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна а наибольшей из его сторон является сторона АС.

Решение.

а) Обозначим центр вписанной окружности за а другой за Тогда

 

 

 

поскольку

 

б) Обозначим длины сторон треугольника : По формуле для радиуса вписанной окружности имеем

 

откуда

 

Формула Герона дает откуда

 

Наконец, центры окружностей лежат на биссектрисе угла Тогда треугольники и подобны. Обозначив найдем

 

откуда Значит, и Тогда по теореме косинусов имеем

 

Теперь у нас есть система трех уравнений с тремя неизвестными, осталось ее решить.

 

Обозначим Получим

и

Из последнего имеем Подставим это в предыдущее и получим откуда (поскольку Значит, и мы можем по теореме Виета угадать стороны (первые две можно было бы поменять местами, но по условию — наибольшаяя сторона).

 

Теперь по теореме косинусов имеем то есть и

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 224.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники