Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На вы­со­те рав­но­сто­рон­не­го ко­ну­са как на диа­мет­ре по­стро­ен шар. 

а)  До­ка­жи­те, что пол­ная по­верх­ность ко­ну­са рав­но­ве­ли­ка по­верх­но­сти шара. 

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние объ­е­ма той части ко­ну­са, ко­то­рая лежит внут­ри шара, к объ­е­му той части шара, ко­то­рая лежит вне ко­ну­са. 

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

На ос­но­ва­нии AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC взята точка E. Окруж­но­сти w₁ и w₂, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки ABE и CBE, ка­са­ют­ся пря­мой BE в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Опре­де­ли­те, на сколь­ко ра­ди­ус окруж­но­сти w₂  боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти w₁, если  из­вест­но,  что  AE  =  9,  СЕ  =  15, а ра­ди­ус впи­сан­ной в  тре­уголь­ник ABC окруж­но­сти равен 4. 

Име­ет­ся две оди­на­ко­вых по объёму банки: пер­вая с мёдом, а вто­рая с дёгтем. 

Шут­ник взял ложку дёгтя из вто­рой банки и до­ба­вил её в банку с мёдом. Пе­ре­ме­шав со­дер­жи­мое в пер­вой банке, 

шут­ник пе­ре­лил такую же ложку смеси во вто­рую банку. Потом он про­де­лал всё это ещё раз: из вто­рой банки

 пе­ре­лил ложку по­лу­чен­ной смеси в первую, после чего из пер­вой банки пе­ре­лил ложку новой смеси во  вто­рую. Опре­де­ли­те, чего ока­за­лось боль­ше: дегтя в мёде или мёда в дёгте?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний

имеет ровно че­ты­ре ре­ше­ния. 

Ис­поль­зуя каж­дую из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 по од­но­му разу, со­ставь­те такие два пя­ти­знач­ных числа, чтобы

а)  их раз­ность была наи­боль­шей;

б)  их раз­ность была по мо­ду­лю наи­мень­шей;

в)  их про­из­ве­де­ние было наи­боль­шим.