Биссектриса AD и высота BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Окружность радиуса R с центром в точке О проходит через вершину А, середину стороны АС и пересекает сторону AB в точке K так, что 
а) Докажите, что AD делит площадь треугольника ABC в соотношении 
б) Найдите длину стороны BC, если радиус окружности 
а) Пусть T — cередина AC. Равнобедренные треугольники AOT и AOK равны (у них равны боковые стороны и углы при основании), поэтому 
Значит, 
По свойству биссектрисы тогда 
и 
по свойству треугольников с общей высотой.
б) Поскольку OE — высота равнобедренного треугольника AOT, она проходит внутри треугольника, Значит, точки на стороне AC лежат в порядке A, E, T, C. Далее, 
поэтому 
Следовательно, 
поскольку AO — биссектриса треугольника BAE.
Обозначим угол BAE за 
Тогда из прямоугольных треугольников AEO и AEB получаем 
Тогда 
откуда 
Значит, 
и 
откуда:
и
По теореме косинусов для треугольника BAC имеем:
Ответ: б) 9.