а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Найти сумму ре­ше­ний, удо­вле­тво­ря­ю­щих не­ра­вен­ству:

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC через вер­ши­ну C ниж­не­го ос­но­ва­ния про­ве­де­но се­че­ние, па­рал­лель­ное АВ. Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет AS в точке M и SB в точке N. Пря­мая MN рав­но­уда­ле­на от пря­мой SC и плос­ко­сти АВС. Точка K  — се­ре­ди­на AB .

а)  До­ка­зать, что бис­сек­три­са CL тре­уголь­ни­ка KSC при­над­ле­жит плос­ко­сти се­че­ния.

б)  Найти от­но­ше­ние объ­е­мов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость се­че­ния делит пи­ра­ми­ду, если АС  =  1 и AS  =  2.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Две окруж­но­сти пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках А и В так, что их цен­тры лежат по раз­ные сто­ро­ны от от­рез­ка АВ. Через точку А про­ве­де­ны ка­са­тель­ные к этим окруж­но­стям АС и АЕ (точка С лежит на пер­вой окруж­но­сти, а точка Е  — на вто­рой). Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АСВЕ в 5 раз боль­ше пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка АВС, BD  — бис­сек­три­са угла АВЕ (точка D лежит на хорде АЕ).

а)  Найти от­но­ше­ние длин от­рез­ков АВ и ВС.

б)  Найти зна­че­ния чисел p и q, если

Пра­ви­тель­ство не­ко­то­ро­го го­су­дар­ства пла­ни­ро­ва­ло двух­ра­зо­вое по­вы­ше­ние пен­сий в 2017 году: 1 ян­ва­ря и 1 июля на 2%. А в ре­аль­но­сти оно ре­ши­ло за­ме­нить это по­вы­ше­ние еди­но­вре­мен­ной вы­пла­той в 5 тысяч руб­лей. Най­ди­те наи­боль­шую пен­сию в де­каб­ре 2016 года, при ко­то­рой вы­пла­та в 5 тысяч руб­лей была бы вы­год­нее, чем пла­ни­ру­е­мое по­вы­ше­ние. (Если из­вест­но, что пен­сия крат­на 100 руб.)

Опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра а не­ра­вен­ство

имеет ровно 2 це­ло­чис­лен­ных ре­ше­ния.

а)  Найти ко­ли­че­ство на­ту­раль­ных де­ли­те­лей числа

б)  До­ка­зать, что число яв­ля­ет­ся со­став­ным.

в)  На­ту­раль­ное число X имеет в ка­че­стве про­стых де­ли­те­лей 5, 7. Найти все такие x, y ко­то­рых уде­ся­те­рен­ное число на­ту­раль­ных де­ли­те­лей равно сумме ко­ли­честв на­ту­раль­ных де­ли­те­лей чисел