В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.
а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.
б) Найдите сумму площадей всех кругов.
а) Впишем следующий треугольник так, чтобы его вершинами были точки касания сторон предыдущего с вписанной окружностью (все правильные треугольники, вписанные в одну окружность, равны, поэтому выбор положения за нами). Значит, каждый следующий треугольник вдвое меньше предыдущего, поэтому и радиус вписанной окружности у него в два раза менье, а площадь вписанного круга меньше вчетверо.
б) Первый член прогрессии равен 
где
Поэтому прогрессия имеет сумму:
Ответ: