СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521213

В правильный треугольник со стороной a вписан круг. В этот круг вписан правильный треугольник, в который вписан круг и так далее.

а) Доказать, что площади кругов образуют геометрическую прогрессию.

б) Найдите сумму площадей всех кругов.

Решение.

а) Впишем следующий треугольник так, чтобы его вершинами были точки касания сторон предыдущего с вписанной окружностью (все правильные треугольники, вписанные в одну окружность, равны, поэтому выбор положения за нами). Значит, каждый следующий треугольник вдвое меньше предыдущего, поэтому и радиус вписанной окружности у него в два раза менье, а площадь вписанного круга меньше вчетверо.

б) Первый член прогрессии равен где

 

Поэтому прогрессия имеет сумму:

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 189.
Классификатор базовой части: Задачи на прогрессии
Классификатор планиметрии: Треугольники