Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 515115

Точка К лежит на диаметре АВ окружности с центром О. С и D — точки окружности, расположенные по одну сторону от АВ, причем ∠OCK = ∠ODK.

а) Докажите, что ∠CKB = ∠DKA.

б) Найдите площадь четырехугольника с вершинами в точках А, В, С, D, если известно, что ОК = 3,6, ВК = 9,6, ∠OCK = ∠ODK = 30°.

Спрятать решение

Решение.

а) Из равенства углов следует, что точки  D,C,O,K лежат на одной окружности. Тогда  \angle CKA равен половине дуги  CDO, а  \angle DKA — половине дуги  DO, то есть дуги  CKO, поскольку хорды  CO и  DO равны (это радиусы изначальной окружности). Поэтому сумма этих двух углов равна  180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка и \angle CKB=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CKA=\angle DKA, что и требовалось доказать.

Точки C и  D можно поменять местами, но от этого к углам добавится одинаковый угол  DCK, так что они по-прежнему будут равны.

б) Если точка K лежит на  BO, то радиус большой окружности равен  OK плюс KB=13,2, радиус маленькой —  дробь: числитель: KO, знаменатель: 2 синус OCK конец дроби =3,6. Но в такой окружности не может быть хорды  OC длиной  13,2. Значит, точка K лежит на  AO и R=9,6 минус 3,6=6. Тогда

 синус \angle AKD= синус \angle DKO= дробь: числитель: DO, знаменатель: 2 умножить на 3,6 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби .

Аналогично и  синус \angle BKC= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби . Тогда

 синус \angle KOC= синус левая круглая скобка 150 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус арксинус дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 11, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: корень из 11 плюс 5 корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби .

Синус угла  \angle COB такой же (углы смежные).

 синус \angle DOK= синус левая круглая скобка \angle DKA минус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 11, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: минус корень из 11 плюс 5 корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби .

Наконец,

 синус \angle DOC= синус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle COB минус \angle DOA правая круглая скобка = синус левая круглая скобка \angle COB плюс \angle DOA правая круглая скобка =

 

= дробь: числитель: корень из 11 плюс 5 корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби умножить на корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: минус корень из 11 плюс 5 корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс дробь: числитель: минус корень из 11 плюс 5 корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби умножить на корень из 1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: корень из 11 плюс 5 корень из 3, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =

 

= дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 11 плюс 5 корень из 3 правая круглая скобка корень из 58 плюс 10 корень из 33 плюс левая круглая скобка минус корень из 11 плюс 5 корень из 3 правая круглая скобка корень из 58 минус 10 корень из 33, знаменатель: 144 конец дроби =

 

= дробь: числитель: левая круглая скобка корень из 11 плюс 5 корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 33 плюс 5 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка минус корень из 11 плюс 5 корень из 3 правая круглая скобка левая круглая скобка корень из 33 минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: 144 конец дроби = дробь: числитель: 40 корень из 11, знаменатель: 144 конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из 11, знаменатель: 18 конец дроби .

Площадь чётырёхугольника с вершинами в точках А, В, С, D равна

S_ADCB=S_AOD плюс S_DOC плюс S_BOC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 в квадрате левая круглая скобка синус \angle AOD плюс синус \angle COD плюс синус \angle COB правая круглая скобка =

 

=18 левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из 3, знаменатель: 6 конец дроби плюс дробь: числитель: 5 корень из 11, знаменатель: 18 конец дроби правая круглая скобка =15 корень из 3 плюс 5 корень из 11.

 

Ответ: б) 15 корень из 3 плюс 5 корень из 11.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166.