Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521074
i

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что BC = 2 умно­жить на AC. На ги­по­те­ну­зе AB  вне тре­уголь­ни­ка по­стро­ен квад­рат ABEF.  Пря­мая CE пе­ре­се­ка­ет AB в точке O.

а)  До­ка­жи­те, что OA : OB = 3 : 4. 

б)  Най­ди­те  от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков АOC и BOE.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Будем счи­тать, что BC=2, AC=1  — на от­но­ше­ния от­рез­ков или пло­ща­дей это не вли­я­ет, мы про­сто сжи­ма­ем или рас­тя­ги­ва­ем кар­тин­ку. Тогда BE=AF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та ,

синус \angle CBE= синус левая круг­лая скоб­ка \angle CBA плюс 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус \angle CBA= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Оче­вид­но тогда ко­си­нус \angle CBE= минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби и по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

CE в квад­ра­те =4 плюс 5 плюс 2 умно­жить на 2 умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

от­ку­да CE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та . По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке CBE имеем

синус \angle BEC= дробь: чис­ли­тель: BC синус \angle CBE, зна­ме­на­тель: CE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

по­это­му ко­си­нус \angle BEC= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Зна­чит,

OE= дробь: чис­ли­тель: BE, зна­ме­на­тель: ко­си­нус \angle BEO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби CE,

 

BO=EO умно­жить на синус \angle BEO= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 65 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби AB,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Те­перь найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков АOC и BOE:

дробь: чис­ли­тель: S_AOC, зна­ме­на­тель: S_BOE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AO, зна­ме­на­тель: OB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: CO, зна­ме­на­тель: OE конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби =0,3.

 

Ответ: б) 0,3.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 172
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025