а) Решите уравнение:

б) Найдите все решения, принадлежащие промежутку

В правильной треугольной пирамиде SABC точки M, N и K — середины ребер основания, а P, Q и R делят боковые ребра SA, SB и SC в отношении 1 : 2, считая от вершины.

а) Доказать, что точки M, N, K, P, Q, R — лежат на одной сфере.

б) При каких углах наклона бокового ребра к основанию центр сферы лежит вне пирамиды SABC.

Решите неравенство:

Первая окружность вписана в треугольник АВС и касается ВС в точке М. Вторая окружность касается ВС в точке N и продолжений сторон АС и АВ.

а) Докажите, что длина МN равна модулю разности длин АВ и АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что радиусы окружностей относятся как 1 : 3, ВС = 12, MN = 4.

Гражданин положил в каждый из двух банков по 5 млн руб. В первом банке в конце года начисляется одно и то же количество процентов на сумму, лежащую в банке в начале года. Во втором банке принцип начисления процентов следующий: в первый год процентная ставка на 3 меньше, чем в первом банке, а затем она каждый год увеличивается на 2%. В итоге, к концу четвертого года на счету у гражданина в первом банке было на 5617 руб. 55 коп. больше, чем во втором. Найти процентную ставку в первом банке.

При каких значениях параметра a область значений функции 

Назовем квадратное уравнение с натуральными коэффициентами a ,b и c «простым», если a ,b и c не имеют кроме 1, других общих делителей.

а) Найти все значения b , для которых «простое» уравнение имеет хотя бы одно целое решение,

б) Докажите, что «простое» уравнение не имеет целых решений, если b кратно 3,

в) Докажите, что если и не кратно 3, найдется такое «с», что простое уравнение имеет целое решение.