а) Решите уравнение:

б) Найдите все решения, принадлежащие промежутку

В правильной треугольной пирамиде SABC точки M, N и K — середины ребер основания, а P, Q и R делят боковые ребра SA, SB и SC в отношении 1 : 2, считая от вершины.

а) Доказать, что точки M, N, K, P, Q, R — лежат на одной сфере.

б) При каких углах наклона бокового ребра к основанию центр сферы лежит вне пирамиды SABC.

Решите неравенство:

Первая окружность вписана в треугольник АВС и касается ВС в точке М. Вторая окружность касается ВС в точке N и продолжений сторон АС и АВ.

а) Докажите, что длина МN равна модулю разности длин АВ и АС.

б) Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что радиусы окружностей относятся как 1 : 3, ВС = 12, MN = 4.

Граж­да­нин по­ло­жил в каж­дый из двух бан­ков по 5 млн руб. В пер­вом банке в конце года на­чис­ля­ет­ся одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов на сумму, ле­жа­щую в банке в на­ча­ле года. Во вто­ром банке прин­цип на­чис­ле­ния про­цен­тов сле­ду­ю­щий: в пер­вый год про­цент­ная став­ка на 3 мень­ше, чем в пер­вом банке, а затем она каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2%. В итоге, к концу чет­вер­то­го года на счету у граж­да­ни­на в пер­вом банке было на 5617 руб. 55 коп. боль­ше, чем во вто­ром. Найти про­цент­ную став­ку в пер­вом банке.

При каких значениях параметра a область значений функции 

Назовем квадратное уравнение с натуральными коэффициентами a ,b и c «простым», если a ,b и c не имеют кроме 1, других общих делителей.

а) Найти все значения b , для которых «простое» уравнение имеет хотя бы одно целое решение,

б) Докажите, что «простое» уравнение не имеет целых решений, если b кратно 3,

в) Докажите, что если и не кратно 3, найдется такое «с», что простое уравнение имеет целое решение.