а)  Ре­ши­те урав­не­ние:

б)  Най­ди­те все ре­ше­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точки M, N и K  — се­ре­ди­ны ребер ос­но­ва­ния, а P, Q и R делят бо­ко­вые ребра SA, SB и SC в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны.

а)  До­ка­зать, что точки M, N, K, P, Q, R  — лежат на одной сфере.

б)  При каких углах на­кло­на бо­ко­во­го ребра к ос­но­ва­нию центр сферы лежит вне пи­ра­ми­ды SABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Пер­вая окруж­ность впи­са­на в тре­уголь­ник АВС и ка­са­ет­ся ВС в точке М. Вто­рая окруж­ность ка­са­ет­ся ВС в точке N и про­дол­же­ний сто­рон АС и АВ.

а)  До­ка­жи­те, что длина МN равна мо­ду­лю раз­но­сти длин АВ и АС.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей от­но­сят­ся как 1 : 3, ВС  =  12, MN  =  4.

Граж­да­нин по­ло­жил в каж­дый из двух бан­ков по 5 млн руб. В пер­вом банке в конце года на­чис­ля­ет­ся одно и то же ко­ли­че­ство про­цен­тов на сумму, ле­жа­щую в банке в на­ча­ле года. Во вто­ром банке прин­цип на­чис­ле­ния про­цен­тов сле­ду­ю­щий: в пер­вый год про­цент­ная став­ка на 3 мень­ше, чем в пер­вом банке, а затем она каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет­ся на 2%. В итоге, к концу чет­вер­то­го года на счету у граж­да­ни­на в пер­вом банке было на 5617 руб. 55 коп. боль­ше, чем во вто­ром. Найти про­цент­ную став­ку в пер­вом банке.

При каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра a об­ласть зна­че­ний функ­ции 

На­зо­вем квад­рат­ное урав­не­ние с на­ту­раль­ны­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми a ,b и c «про­стым», если a ,b и c не имеют кроме 1, дру­гих общих де­ли­те­лей.

а)  Найти все зна­че­ния b , для ко­то­рых «про­стое» урав­не­ние имеет хотя бы одно целое ре­ше­ние,

б)  До­ка­жи­те, что «про­стое» урав­не­ние не имеет целых ре­ше­ний, если b крат­но 3,

в)  До­ка­жи­те, что если и не крат­но 3, най­дет­ся такое «с», что про­стое урав­не­ние имеет целое ре­ше­ние.