Дано урав­не­ние

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной приз­ме  АВ  =  ВС  =  8, Через точки А и С пер­пен­ди­ку­ляр­но про­ве­де­на плос­кость Ω.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость Ω пе­ре­се­ка­ет ребро  в такой точке М, что 

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми  Ω  и  

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Точки М и Р  — се­ре­ди­ны сто­рон ВС и АD вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка АВСD. Диа­го­наль АС про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка МР.

а)  До­ка­жи­те, что пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков АВС и АСD равны.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВМ, если из­вест­но, что АВ  =  12, ВС  =  10, а пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка АМСР равна 60.

На по­куп­ку тет­ра­дей в клет­ку и в ли­ней­ку можно за­тра­тить не более 140 руб. Тет­радь в клет­ку стоит 3 руб., в ли­ней­ку  — 2 руб. Число куп­лен­ных тет­ра­дей в клет­ку не долж­но от­ли­чать­ся от числа тет­ра­дей в ли­ней­ку более, чем на 9. Не­об­хо­ди­мо ку­пить мак­си­маль­но воз­мож­ное сум­мар­ное ко­ли­че­ство тет­ра­дей, при этом тет­ра­дей в ли­ней­ку нужно ку­пить как можно мень­ше. Сколь­ко тет­ра­дей в клет­ку и сколь­ко в ли­ней­ку можно ку­пить при ука­зан­ных усло­ви­ях?

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

Пусть S_n  — сумма п пер­вых чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии (a_n). Из­вест­но, что

а)  Ука­жи­те фор­му­лу n‐го члена этой про­грес­сии.

б)  Най­ди­те наи­мень­шую по мо­ду­лю сумму

в)  Най­ди­те наи­мень­шее n, при ко­то­ром S_n будет квад­ра­том це­ло­го числа.