Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505757
i

На сто­ро­нах AB, BC и CA тре­уголь­ни­ка ABC от­ло­же­ны со­от­вет­ствен­но от­рез­ки AD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби AB, BE= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BC, CF= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби CA.

а)  До­ка­жи­те, что S_AMC=S_ANB=S_BKC, где M=AE \cap CD,K=CD\cap BF,N=AE\cap BF.

б)  Най­ди­те, какую часть от пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC со­став­ля­ет пло­щадь тре­уголь­ни­ка MNK.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  На­пи­шем тео­ре­му Ме­не­лая для тре­уголь­ни­ка ABF и пря­мой MKC. По­лу­чим

дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: DB конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BK, зна­ме­на­тель: KF конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: FC, зна­ме­на­тель: CA конец дроби =1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: BK, зна­ме­на­тель: KF конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби =1 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: BK, зна­ме­на­тель: KF конец дроби =6.

Тогда

S_BKC= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби S_BFC= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби S_ABC.

Ана­ло­гич­но пло­ща­ди осталь­ных тре­уголь­ни­ков равны дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби S_ABC.

б)  За­ме­тим, что

S_MNK=S_ABC минус S_BKC минус S_AMC минус S_ANB= левая круг­лая скоб­ка 1 минус 3 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби } пра­вая круг­лая скоб­ка S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби S_ABC.

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 67
Методы геометрии: Тео­ре­ма Ме­не­лая
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025