Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527403
i

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC из точки E, рас­по­ло­жен­ной в се­ре­ди­не ка­те­та BC, опу­щен пер­пен­ди­ку­ляр EL на ги­по­те­ну­зу AB, AE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та EL, BC боль­ше AC.

а)  Най­ди­те углы тре­уголь­ни­ка ABC.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние дробь: чис­ли­тель: AE, зна­ме­на­тель: CL конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Если взять тре­уголь­ник, по­доб­ный дан­но­му, то в нем все углы и от­но­ше­ния от­рез­ков будут та­ки­ми же. Будем сразу счи­тать, что EL=1, AE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ALE имеем AL= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус 1 конец ар­гу­мен­та =3.

а)  Обо­зна­чим BL=x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка BLE по­лу­чим BE= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 1 конец ар­гу­мен­та . Зна­чит, и EC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те плюс 1 конец ар­гу­мен­та . Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ACE по­лу­чим:

AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус EC в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

На­ко­нец, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка ABC по­лу­чим:

9 минус x в квад­ра­те плюс 4 левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 3 плюс x пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те рав­но­силь­но 2x в квад­ра­те минус 6x плюс 4=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x=1,x=2. конец со­во­куп­но­сти .

Пер­вый ва­ри­ант не­воз­мо­жен, по­сколь­ку тогда BC=AC. Зна­чит, x=2, AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , AB=5, \angle B= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , \angle A= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , \angle C=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка CBL по­лу­ча­ем:

CL в квад­ра­те =20 плюс 4 минус 2 умно­жить на 2 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби =8,

от­ку­да CL=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та и AE:CL= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) \angle B= арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , \angle A= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та конец дроби , \angle C=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 257
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025