ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Тип Д8 C1 № 521263

i

Дано уравнение $2\ctg в квадрате x плюс дробь: числитель: 3, знаменатель: синус x конец дроби = 0.$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 16 Пи ;18 Пи правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д10 C2 № 521264

i

В основании пирамиды РАВС лежит равнобедренный треугольник АВС (АС  =  ВС). Все боковые ребра пирамиды попарно равны. Точка К  — середина АВ. В эту пирамиду вписана сфера.

а)  Докажите, что точка касания сферы с гранью АРВ лежит на прямой РК.

б)  Найдите радиус сферы, если известно, что АВ  =  6, ВС  =  5, КР  =  4.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д12 C3 № 521265

i

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка |x| минус 1 правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка дробь: числитель: |x| минус 1, знаменатель: 16 конец дроби правая круглая скобка плюс 3, знаменатель: корень из: начало аргумента: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус |x плюс 4| правая круглая скобка конец аргумента конец дроби больше или равно 0.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д15 C4 № 521266

i

Дан квадрат АВСD. На сторонах АВ и ВС внешним и внутренним образом соответственно построены равносторонние треугольники АВК и ВСР.

а)  Докажите, что точка Р лежит на прямой DК.

б)  Найдите площадь четырехугольника РКВС, если известно, что АВ  =  2.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д16 C5 № 521267

i

Роман Абрамович внес в банк «Альфа» S тысяч рублей (S  — целое число) под 10% годовых сроком на три года. Одновременно с ним Абрам Романович внес в банк «Бетта» такую же сумму на год под 15% годовых с возможностью пролонгировать (продлить) вклад на второй год под 10% годовых, а на третий  — под 5% годовых. Найдите наименьшее значение S, при котором суммы на счетах Романа Абрамовича и Абрама Романовича спустя три года будут отличаться более, чем на 300 тысяч рублей.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д17 C6 № 521268

i

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

$\log в квадрате _x левая круглая скобка 2ax плюс 1 минус a в квадрате правая круглая скобка минус 2 логарифм по основанию x левая круглая скобка 2ax плюс 1 минус a в квадрате правая круглая скобка =0$

имеет более двух корней.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д19 C7 № 521269

i

Василий Кузякин возвращался из санатория домой на поезде. На перроне одной из ж/д станций продавали варёных раков: больших  — по 200 рублей за штуку, средних  — по 150 рублей за штуку и маленьких  — по 100 рублей за штуку. Василий решил потратить на покупку раков последние пять тысяч рублей. Для себя он определил, что непременно купит и больших, и средних, и маленьких, причём их количества не будут отличаться более, чем на 2.

а)  Сможет ли Василий при таких условиях купить раков ровно на 5000 рублей?

б)  Сможет ли Василий при таких условиях купить 14 больших раков?

в)  Какое наибольшее число раков сможет купить Василий при таких условиях?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

А. Ларин: Тренировочный вариант № 196.