Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 515130

Окружность ω с центром в точке О касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений сторон AB  и  AC.  Вписанная  в  этот  треугольник  окружность с центром в точке Е  касается стороны BC в точке K.  

а) Докажите, что ВК = СМ.                                                              

б) Найдите площадь четырехугольника ОКЕМ, если известно, что АС = 5, ВС = 6, АВ = 4.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначив точки касания окружностей с лучами  AC и  AB, имеем:

CM=CP=AP минус AC=AS минус AQ минус QC=AT плюс TB плюс BS минус AQ минус QC=

 

=TB плюс BS минус QC=BK плюс BM минус CK=2BK минус CM,

поэтому  CM=BK.

б) Заметим, что

 BK= дробь: числитель: BK плюс BT, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: BK плюс BT плюс TA плюс KC минус AQ минус AC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: BA плюс BC минус AC, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ,

поэтому  MK=6 минус 2 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби =1.

Тогда:

 S_OKEM=S_OKM плюс S_EKM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MK левая круглая скобка d левая круглая скобка O,MK правая круглая скобка плюс d левая круглая скобка E,MK правая круглая скобка правая круглая скобка =

 

= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка r плюс r_a правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби плюс дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC минус BC конец дроби правая круглая скобка .

По формуле Герона

 S_ABC= корень из дробь: числитель: 15, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 7, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби корень из 7.

Окончательно

 S_OKEM=12 умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби корень из 7 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби плюс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка = дробь: числитель: 3 корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 3 корень из 7, знаменатель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 168.