Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 515108
i

В тре­уголь­ни­ке АВС ВА  =  8, ВС  =  7, угол B равен 120°. Впи­сан­ная в тре­уголь­ник окруж­ность ω ка­са­ет­ся сто­ро­ны АС в точке М. 

а)  До­ка­жи­те, что АМ  =  ВС. 

б)  Най­ди­те  длину  от­рез­ка  с  кон­ца­ми  на  сто­ро­нах АВ и АС, пер­пен­ди­ку­ляр­но­го АВ и ка­са­ю­ще­го­ся окруж­но­сти ω.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов, AC в квад­ра­те =8 в квад­ра­те плюс 7 в квад­ра­те минус 2 умно­жить на 7 умно­жить на 8 ко­си­нус 120 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =169, по­это­му AC=13. Те­перь можем найти AM:

AM= дробь: чис­ли­тель: AB плюс AC минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =7=BC,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По тео­ре­ме ко­си­ну­сов, 49=64 плюс 169 минус 2 умно­жить на 8 умно­жить на 13 умно­жить на ко­си­нус \angle A, от­ку­да ко­си­нус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 23, зна­ме­на­тель: 26 конец дроби , синус \angle A= дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 26 конец дроби . Пусть ис­ко­мый от­ре­зок имеет концы P, Q на AB, AC со­от­вет­ствен­но. Пусть PQ=x, тогда AQ= дробь: чис­ли­тель: 26x, зна­ме­на­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби ; AP= дробь: чис­ли­тель: 23x, зна­ме­на­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Для тре­уголь­ни­ка APQ дан­ная окруж­ность яв­ля­ет­ся внев­пи­сан­ной, по­это­му ее ра­ди­ус можно найти по фор­му­ле

r= дробь: чис­ли­тель: S_APQ, зна­ме­на­тель: p_APQ минус PQ конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AP умно­жить на PQ, зна­ме­на­тель: AP плюс AQ минус PQ конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 23x, зна­ме­на­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

C дру­гой сто­ро­ны, для ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка это впи­сан­ная окруж­ность и ее ра­ди­ус равен

дробь: чис­ли­тель: S_ABC, зна­ме­на­тель: p_ABC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 умно­жить на 1 умно­жить на 7 умно­жить на 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

по­это­му

x= дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 23 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 7 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 23 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 165
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Внев­пи­сан­ная окруж­ность, Окруж­ность, впи­сан­ная в че­ты­рех­уголь­ник, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025