Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 515108

В треугольнике АВС ВА = 8, ВС = 7, угол B равен 120°. Вписанная в треугольник окружность ω касается стороны АС в точке М

а)  Докажите, что АМ = ВС

б)  Найдите  длину  отрезка  с  концами  на  сторонах АВ и АС, перпендикулярного АВ и касающегося окружности ω.

Спрятать решение

Решение.

а)  По теореме косинусов, AC в квадрате =8 в квадрате плюс 7 в квадрате минус 2 умножить на 7 умножить на 8 косинус 120 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =169, поэтому AC=13. Теперь можем найти AM:

AM= дробь: числитель: AB плюс AC минус BC, знаменатель: 2 конец дроби =7=BC,

что и требовалось доказать.

б)  По теореме косинусов, 49=64 плюс 169 минус 2 умножить на 8 умножить на 13 умножить на косинус \angle A, откуда  косинус \angle A= дробь: числитель: 23, знаменатель: 26 конец дроби ,  синус \angle A= дробь: числитель: 7 корень из 3, знаменатель: 26 конец дроби . Пусть искомый отрезок имеет концы P, Q на AB, AC соответственно. Пусть PQ=x, тогда AQ= дробь: числитель: 26x, знаменатель: 7 корень из 3 конец дроби ; AP= дробь: числитель: 23x, знаменатель: 7 корень из 3 конец дроби .

Для треугольника APQ данная окружность является вневписанной, поэтому ее радиус можно найти по формуле

r= дробь: числитель: S_APQ, знаменатель: p_APQ минус PQ конец дроби = дробь: числитель: AP умножить на PQ, знаменатель: AP плюс AQ минус PQ конец дроби = дробь: числитель: 23x, знаменатель: 7 корень из 3 левая круглая скобка 7 минус корень из 3 правая круглая скобка конец дроби .

C другой стороны, для исходного четырехугольника это вписанная окружность и ее радиус равен

 дробь: числитель: S_ABC, знаменатель: p_ABC конец дроби = дробь: числитель: корень из 14 умножить на 1 умножить на 7 умножить на 6, знаменатель: 14 конец дроби = корень из 3,

поэтому

x= дробь: числитель: 7 корень из 3 левая круглая скобка 7 минус корень из 3 правая круглая скобка , знаменатель: 23 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 7 корень из 3 левая круглая скобка 7 минус корень из 3 правая круглая скобка , знаменатель: 23 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.