СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 508098

Через точку T внутри треугольника ABC проведены три прямые k, l и m так, что k || AB, l || BC, m || AC. Эти прямые образуют три треугольника, два из которых равны по площади.

а) Докажите, что квадрат суммы квадратных корней из площадей треугольников, образованных прямыми k, l и m со сторонами треугольника ABC, равен площади этого треугольника;

б) Найдите площадь меньшего треугольника, если известно, что площадь треугольника ABC равна 25, а площадь каждого из равных треугольников равна 4.

Решение.

а) Прямые разбивают треугольник на три треугольника, подобных ему (из-за параллельности сторон) и три параллелограмма. Обозначим коэффициенты подобия за и заметим, что , поскольку сумма сторон треугольников, параллельных данной стороне исходного треугольника, равна этой стороне (одна из трех там лежит, остальные две равны соответствующим частям стороны как противоположные стороны параллелограммов). Обозначая площади треугольников за , а площадь исходного за , будем иметь

б) В обозначениях пункта а) имеем , откуда и поэтому площадь последнего треугольника равна

 

Ответ: 1.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 83.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники