Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521275
i

Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка АВСD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Окруж­но­сти \omega_1 и \omega_2 опи­са­ны около тре­уголь­ни­ков АОВ и ВОС со­от­вет­ствен­но. Пусть O_1  — центр окруж­но­сти \omega_1, а O2  — центр окруж­но­сти \omega_2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BO_1 ка­са­ет­ся окруж­но­сти \omega_2, а пря­мая BO_2 ка­са­ет­ся окруж­но­сти \omega_1.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка O_1O_2, если из­вест­но, что АВ  =  6, ВС  =  8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку \omega_2 про­хо­дит через точку B, до­ста­точ­но до­ка­зать, что пря­мая O_2B пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой O_1B. Пусть сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка равны AB=2a, BC=2b, b боль­ше или равно a. Тогда:

R_ABO= дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на AO умно­жить на BO, зна­ме­на­тель: 4S_ABO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB умно­жить на AO в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: S_ABCD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2a умно­жить на 14 AC в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4ab конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2b конец дроби .

По­это­му:

ко­си­нус \angle O_1BA= дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB, зна­ме­на­тель: O_1B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2ab, зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те конец дроби .

Для дру­гой окруж­но­сти ответ будет таким же, но там этот угол на­хо­дит­ся сна­ру­жи пря­мо­уголь­ни­ка. По­это­му:

\angle O_2BO_1=\angle O_2BC плюс \angle CBA минус \angle O_1BA=\angle CBA=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

что и тре­бо­ва­лось. Утвер­жде­ние про вто­рую окруж­ность, оче­вид­но, тре­бу­ет той же самой пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти, по­это­му тоже до­ка­за­но.

б)  Те­перь найдём длину от­рез­ка O_1O_2:

O_1O_2= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: O_1B в квад­ра­те плюс O_2B в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4b в квад­ра­те конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4a в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: a в квад­ра­те b в квад­ра­те конец дроби конец ар­гу­мен­та .

В нашем слу­чае a=3, b=4, по­лу­ча­ем:

дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 25, зна­ме­на­тель: 144 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 125, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 125, зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 197
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025