Отрезок АВ является диаметром окружности. Точки С и D окружности расположены по разные стороны от прямой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 соответственно. Хорда CD пересекает АВ в точке Е, причем 
а) Доказать, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
б) Найти радиус окружности.
а) Треугольники ECA и EBD подобны по двум углам (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), поэтому 
откуда 
В решении мы нигде не использовали то, что AB диаметр, наше доказательство годится во всех случаях.
б) В треугольнике CAO отрезок CE — медиана, он равен:
По теореме косинусов для треугольника ACE имеем:
отсюда:
Из равнобедренного треугольника DOB находим:
Поскольку
получаем уравнение:
Поэтому радиус равен 
Ответ: 