Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521198

Отрезок АВ является диаметром окружности. Точки С и D окружности расположены по разные стороны от прямой АВ, длины хорд АС и BD равны 2 и 4 соответственно. Хорда CD пересекает АВ в точке Е, причем AE : EB = 1 : 3.

а) Доказать, что если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

б) Найти радиус окружности.

Решение.

а) Треугольники ECA и EBD подобны по двум углам (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), поэтому CE:EA=BE:ED, откуда CE умножить на DE=AE умножить на BE. В решении мы нигде не использовали то, что AB диаметр, наше доказательство годится во всех случаях.

б) В треугольнике CAO отрезок CE — медиана, он равен:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 корень из { 8a в степени 2 плюс 8 минус 4a в степени 2 }= корень из { a в степени 2 плюс 2}.

По теореме косинусов для треугольника ACE имеем:

a в степени 2 =4 плюс a в степени 2 плюс 2 минус 2 умножить на 2 корень из { a в степени 2 плюс 2} косинус \angle ACE,

отсюда:

 косинус \angle ACE= дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { a в степени 2 плюс 2 }

Из равнобедренного треугольника DOB находим:

 косинус \angle OBD= дробь, числитель — BD, знаменатель — 2OB = дробь, числитель — 4, знаменатель — 4a = дробь, числитель — 1, знаменатель — a .

Поскольку

\angle OBD=\angle ABD=\angle ACD=\angle ACE,

получаем уравнение:

 дробь, числитель — 3, знаменатель — 2 корень из { a в степени 2 плюс 2 }= дробь, числитель — 1, знаменатель — a равносильно 3a=2 корень из { a в степени 2 плюс 2} равносильно 9a в степени 2 =4a в степени 2 плюс 8 равносильно a= корень из { дробь, числитель — 8, знаменатель — 5 }.

Поэтому радиус равен 2a= дробь, числитель — 4 корень из { 2}, знаменатель — корень из { 5 }.

 

Ответ:  дробь, числитель — 4 корень из { 2}, знаменатель — корень из { 5 }.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187.
Методы геометрии: Свойства медиан, Теорема косинусов
Классификатор планиметрии: Подобие, Треугольники