Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521259
i

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию АВСD, ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон АВ и СD в точ­ках К и М.

а)  До­ка­жи­те, что сумма квад­ра­тов рас­сто­я­ний от цен­тра окруж­но­сти до вер­шин тра­пе­ции равна сумме квад­ра­тов длин бо­ко­вых сто­рон тра­пе­ции.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции АВСD, если из­вест­но, что AK  =  9, ВК  =  4, СМ  =  1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По­сколь­ку BC па­рал­лель­на пря­мой AD, \angle BCD плюс \angle ADC=180 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Пусть O  — центр окруж­но­сти. Тогда CO и DO  — бис­сек­три­сы со­от­вет­ству­ю­щих углов и

\angle OCD плюс \angle ODC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка \angle BCD плюс \angle ADC пра­вая круг­лая скоб­ка =90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­это­му \angle COD=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке COD имеем

CO в квад­ра­те плюс DO в квад­ра­те =CD в квад­ра­те .

Ана­ло­гич­но

BO в квад­ра­те плюс AO в квад­ра­те =BA в квад­ра­те .

Скла­ды­вая эти ра­вен­ства, по­лу­чим тре­бу­е­мое.

б)  По свой­ству вы­со­ты в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BOA на­хо­дим:

OK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AK умно­жить на KB конец ар­гу­мен­та =6.

По свой­ству вы­со­ты в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке COD на­хо­дим:

6= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CM умно­жить на MD конец ар­гу­мен­та ,

от­ку­да MD=36. От­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных из одной точки, равны, по­это­му:

BC=BT плюс TC=BK плюс CM=5,

ана­ло­гич­но AD=9 плюс 36=45.

Про­ве­дем те­перь через B пря­мую, па­рал­лель­ную CD. Она от­се­чет от тра­пе­ции тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 13, 37, 45 − 5  =  40. Най­дем его пло­щадь по фор­му­ле Ге­ро­на. Имеем:

S= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 45 умно­жить на 32 умно­жить на 8 умно­жить на 5 конец ар­гу­мен­та =15 умно­жить на 16=240.

Зна­чит, вы­со­та тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны B, (она же вы­со­та тра­пе­ции) равна дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 240, зна­ме­на­тель: 40 конец дроби =12 и пло­щадь тра­пе­ции со­став­ля­ет

дробь: чис­ли­тель: 5 плюс 45, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 12=300.

Ответ:300.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 195
Методы геометрии: Свой­ства высот
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025