СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521259

Окружность, вписанная в трапецию АВСD, касается боковых сторон АВ и СD в точках К и М.

а) Докажите, что сумма квадратов расстояний от центра окружности до вершин трапеции равна сумме квадратов длин боковых сторон трапеции.

б) Найдите площадь трапеции АВСD, если известно, что AK = 9, ВК = 4, СМ = 1.

Решение.

а) Поскольку параллельна прямой Пусть O — центр окружности. Тогда и DO — биссектрисы соответствующих углов и

поэтому По теореме Пифагора в треугольнике имеем

Аналогично

Складывая эти равенства, получим требуемое.

б) По свойству высоты в прямоугольном треугольнике находим:

По свойству высоты в прямоугольном треугольнике находим:

откуда Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны, поэтому:

аналогично

Проведем теперь через прямую, параллельную Она отсечет от трапеции треугольник со сторонами 13, 37, 45 − 5 = 40. Найдем его площадь по формуле Герона. Имеем:

Значит, высота треугольника, проведенная из вершины (она же высота трапеции) равна и площадь трапеции составляет

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 195.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники