Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 506065
i

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ABC на пря­мой BC от­ме­че­на точка D так, что угол CAD равен углу ABD. Най­ди­те длину от­рез­ка AD, если бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC равна 5, а его ос­но­ва­ние равно 6.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Про­ве­дем вы­со­ту BH. Тогда BH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 в квад­ра­те минус 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =4. Пусть \angle ABH= альфа , тогда \angle ABC=2 альфа , \angle BAC=90 гра­ду­сов минус альфа мень­ше 2 альфа , так как BC мень­ше AC. Зна­чит, альфа боль­ше 30 гра­ду­сов.

Рас­смот­рим воз­мож­ные по­ло­же­ния точки D.

1)  D лежит на про­дол­же­нии BC за точку C. Тогда

\angle DAC=2 альфа , \angle ACD=180 гра­ду­сов минус \angle BCA=90 плюс альфа , \angle CDA=180 гра­ду­сов минус \angle DAC минус \angle CAD=90 гра­ду­сов минус 3 альфа мень­ше 0,

по­это­му такой слу­чай не­воз­мо­жен.

2)  D лежит на от­рез­ке BC. Тогда \angle DAC=2 альфа боль­ше \angle BAC боль­ше \angle DAC, по­это­му такой слу­чай не­воз­мо­жен.

3)  D лежит на про­дол­же­нии BC за точку B. Тогда

\angle DAC=180 гра­ду­сов минус 2 альфа , \angle BAD=180 гра­ду­сов минус 2 альфа минус \angle BAC=90 минус альфа , \angle CDA=180 гра­ду­сов минус \angle DAC минус \angle DCA=3 альфа минус 90 гра­ду­сов боль­ше 0.

Так что такой слу­чай воз­мо­жен.

На­пи­шем тогда тео­ре­му си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BAD.

дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 180 гра­ду­сов минус 2 альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: AB, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 3 альфа минус 90 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: AD, зна­ме­на­тель: синус 2 альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: минус ко­си­нус 3 альфа конец дроби ,

AD= дробь: чис­ли­тель: 10 синус альфа ко­си­нус альфа , зна­ме­на­тель: 3 ко­си­нус альфа минус 4 ко­си­нус в кубе альфа конец дроби .

Из тре­уголь­ни­ка BAH имеем синус альфа = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , ко­си­нус альфа = дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . Зна­чит,

AD= дробь: чис­ли­тель: 10 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 25 конец дроби , зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 12, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 256, зна­ме­на­тель: 125 конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 600, зна­ме­на­тель: 44 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 150, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 150, зна­ме­на­тель: 11 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 37
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025