Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В  окруж­ность  с  цен­тром  в  точке О  впи­сан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  АВС с ги­по­те­ну­зой  АВ.  На  боль­шем  ка­те­те  ВС взята точка D так, что АС  =  ВD. Точка  Е  — се­ре­ди­на дуги АСВ.  

а)  До­ка­жи­те, что угол CED равен 90°.

б)  Най­ди­те пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка АОDEC, если из­вест­но, что АВ  =  13, АС  =  5.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Хорды BE и AE равны, по­сколь­ку стя­ги­ва­ют рав­ные дуги, \angle EBC=\angle EAC как опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу. Тогда тре­уголь­ни­ки EBD и EAC равны по двум сто­ро­на и углу между ними, от­ку­да

\angle DEC=\angle BEC минус \angle BED=\angle BEC минус \angle AEC=\angle BEA=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка ,

по­сколь­ку опи­ра­ет­ся на диа­метр.

б)  Те­перь найдём пло­щадь пя­ти­уголь­ни­ка АОDEC:

S_ACEDO=S_AODE плюс S_ACE=S_AODE плюс S_BDE=S_AEB минус S_BDO= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби EO умно­жить на BA минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби BO умно­жить на BD умно­жить на синус \angle CBA=

 

= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 13 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 13, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 13 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 13 в квад­ра­те минус 5 в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =36.

Ответ: б) 36.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 167
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025