Площадь треугольника АВС равна 72, а сумма длин сторон АС и ВС равна 24.
а) Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
б) Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник АВС, если известно, что две вершины этого квадрата лежат на стороне АВ.
а) Пусть 
тогда 
Потребуем выполнения условия 
При 
т. е. 
что и требовалось доказать.
б) Итак, в прямоугольном треугольнике АСВ AC = BC = 12,
Пусть О — середина АВ. Тогда 
И пусть MNPQ — упомянутый квадрат 
Проведем отрезок СО, который пересечет NP в точке K. И пусть b — длина стороны квадрата.
При симметрии относительно прямой СО равнобедренный 
перейдет сам на себя. Причем отрезки PK и NK перейдут друг на друга. Отсюда: 
Поскольку NP || AB, 
А это значит, что 
Ответ: б) 