ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 521141 Добавить в вариант

На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка М, отличная от вершин, что МС  =  АС. Точка Р симметрична точке А относительно прямой ВС.

а)  Докажите, что около четырехугольника ВМСР можно описать окружность.

б)  Найдите длину отрезка МР, если известно, что АВ  =  6, ВС  =  5, СА  =  3.

Спрятать решение

Решение.

а)  Имеем:

$\angle CPB плюс \angle CMB=\angle CAB плюс 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle CMA=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$

потому что треугольник ACM равнобедренный. Тогда по признаку вписанного четырехугольника BMCP  — вписанный.

б)  По теореме косинусов для треугольника CAB имеем:

$25=36 плюс 9 минус 2 умножить на 3 умножить на 6 умножить на косинус \angle CAB,$

откуда $cos\angle CAB= дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби .$ Тогда в равнобедренном треугольнике AMC находим:

$AM=2AC косинус \angle CAM= дробь: числитель: 10, знаменатель: 3 конец дроби ,$

$BM=BA минус AM= дробь: числитель: 8, знаменатель: 3 конец дроби .$

Далее, из-за симметрии $BP=BA=6,$ $CP=CA=3.$

Применим к четырехугольнику CPBM теорему Птолемея. Имеем:

$MP умножить на CB=CP умножить на MB плюс CM умножить на PB,$

откуда $5MP=8 плюс 18,$ $MP=5,2.$

Ответ: 5,2.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 180

Методы геометрии: Теорема Птолемея, Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружность, описанная вокруг четырехугольника, Треугольники

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь