СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521817

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не АВ тре­уголь­ни­ка АВС пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке D. Окруж­ность с цен­тром О, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ADB, ка­са­ет­ся от­рез­ка AD в точке Р, а пря­мая ОР пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АВ в точке К.

а) До­ка­жи­те, что около че­ты­рех­уголь­ни­ка ВDОК можно опи­сать окруж­ность.

б) Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.

Ре­ше­ние.

а) По­сколь­ку лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный и в нем — ме­ди­а­на, бис­сек­три­са и вы­со­та.

 

Пусть тогда от­ку­да че­ты­рех­уголь­ник — впи­сан­ный.

 

б) Сразу за­ме­тим, что по­это­му тре­уголь­ник — пря­мо­уголь­ный, по­это­му и Зна­чит, длина же са­мо­го се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра равна

 

Вы­чис­лим те­перь радус окруж­но­сти, впи­сан­ной в

 

Тогда

 

На­ко­нец,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 234.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники