СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 521817

Серединный перпендикуляр к стороне АВ треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D. Окружность с центром О, вписанная в треугольник ADB, касается отрезка AD в точке Р, а прямая ОР пересекает сторону АВ в точке К.

а) Докажите, что около четырехугольника ВDОК можно описать окружность.

б) Найдите радиус этой окружности, если АВ = 10, АС = 8, ВС = 6.

Решение.

а) Поскольку лежит на серединном перпендикуляре к треугольник равнобедренный и в нем — медиана, биссектриса и высота.

 

Пусть тогда откуда четырехугольник — вписанный.

 

б) Сразу заметим, что поэтому треугольник — прямоугольный, поэтому и Значит, длина же самого серединного перпендикуляра равна

 

Вычислим теперь радус окружности, вписанной в

 

Тогда

 

Наконец,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 234.
Методы геометрии: Теорема синусов
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Треугольники