Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 521113
i

В тре­уголь­ни­ке АВС про­ве­де­на ме­ди­а­на ВМ.

а)  Может ли ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВМ, быть в два раза мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС?

б)  Окруж­но­сти, впи­сан­ные в тре­уголь­ни­ки АВМ и СВМ, ка­са­ют­ся ме­ди­а­ны ВМ в точ­ках Р и К со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те рас­сто­я­ние между точ­ка­ми Р и К, если из­вест­но, что АВ  =  17, ВС  =  7, AC= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 177 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Имеем:

r_ABM= дробь: чис­ли­тель: S_ABM, зна­ме­на­тель: p_ABM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0,5S_ABC, зна­ме­на­тель: p_ABM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 0,5S_ABCp_ABC, зна­ме­на­тель: p_ABCp_ABM конец дроби =0,5r_ABC дробь: чис­ли­тель: p_ABC, зна­ме­на­тель: p_ABM конец дроби

По­это­му нужно, чтобы пе­ри­мет­ры тре­уголь­ни­ков ABC и ABM сов­па­да­ли. Это не­воз­мож­но, по­сколь­ку

P_ABC=AB плюс BC плюс AC=AB плюс BM плюс MC плюс AC боль­ше AB плюс BM плюс AM=P_ABM.

б)  Имеем: PK=|BP минус BK|. В тре­уголь­ни­ке от­ре­зок от вер­ши­ны до точки ка­са­ния с впи­сан­ной окруж­но­стью можно вы­чис­лить по фор­му­ле p минус a, где p  — по­лу­пе­ри­метр, a  — про­ти­во­ле­жа­щая сто­ро­на. По­лу­чим:

BP= дробь: чис­ли­тель: AB плюс AM минус BM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

 

BK= дробь: чис­ли­тель: BC плюс CM минус BM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

 

PK= дробь: чис­ли­тель: AB минус BC, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =5.

Ответ: а) Нет; б) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 177
Классификатор планиметрии: Внев­пи­сан­ная окруж­ность, Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025