Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521113

В треугольнике АВС проведена медиана ВМ.

а)  Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС?

б)  Окружности, вписанные в треугольники АВМ и СВМ, касаются медианы ВМ в точках Р и К соответственно. Найдите расстояние между точками Р и К, если известно, что АВ = 17, ВС = 7, AC= корень из 177.

Спрятать решение

Решение.

а)  Имеем:

 r_ABM= дробь: числитель: S_ABM, знаменатель: p_ABM конец дроби = дробь: числитель: 0,5S_ABC, знаменатель: p_ABM конец дроби = дробь: числитель: 0,5S_ABCp_ABC, знаменатель: p_ABCp_ABM конец дроби =0,5r_ABC дробь: числитель: p_ABC, знаменатель: p_ABM конец дроби

Поэтому нужно, чтобы периметры треугольников  ABC и  ABM совпадали. Это невозможно, поскольку

 P_ABC=AB плюс BC плюс AC=AB плюс BM плюс MC плюс AC больше AB плюс BM плюс AM=P_ABM.

б)  Имеем:  PK=|BP минус BK|. В треугольнике отрезок от вершины до точки касания с вписанной окружностью можно вычислить по формуле  p минус a, где  p  — полупериметр, a  — противолежащая сторона. Получим:

 BP= дробь: числитель: AB плюс AM минус BM, знаменатель: 2 конец дроби ;

 

 BK= дробь: числитель: BC плюс CM минус BM, знаменатель: 2 конец дроби ;

 

 PK= дробь: числитель: AB минус BC, знаменатель: 2 конец дроби =5.

Ответ: а) Нет; б) 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 177.
Классификатор планиметрии: Вневписанная окружность, Треугольники