Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна 
а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.
Предложенная задача известна как теорема Штейнера–Лемуса «Если в треугольнике равны две биссектрисы, то этот треугольник равнобедренный». Исходя из этого имеем:
а) Лемма 1. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.
Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше отцентра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.
Лемма 2. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.
Доказательство. Пусть ABC — треугольник, в котором 
Пусть отрезки BM и CNделят пополам углы В и С соответственно. Наша задача — доказать, что BM > CN.
Возьмем точку M' на отрезке BM так, чтобы
Так как этот угол равен углу 
то четыре точки 
лежат на одной окружности.
Поскольку
то 
По лемме 1 
Следовательно, 
Теперь докажем теорему Штейнера–Лемуса.
Предположим, что в треугольнике 
т. е. признак равнобедренного треугольника не выполняется. Тогда по лемме 2 
что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение о невыполнении равенства 
неверно.
б) Пусть угол при основании треугольника 
высота, проведенная к основанию, h тогда: в 
по теореме синусов:
Поскольку 
отрицательное значение 
нас не интересует. Итак, 
Ответ: б) 