СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 512426

Дан треугольник ABC. В нем проведены биссектрисы AM и BN, каждая из которых равна

а) Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если его основание равно 132.

Решение.

Предложенная задача известна как теорема Штейнера–Лемуса «Если в треугольнике равны две биссектрисы, то этот треугольник равнобедренный». Исходя из этого имеем:

а) Лемма 1. Если две хорды окружности стягивают различные острые углы с вершинами на этой окружности, то меньшему углу соответствует меньшая хорда.

Доказательство. Две равные хорды стягивают равные углы с вершиной в центре окружности и равные углы (как их половины) с вершинами в соответствующих точках на окружности. Из двух неравных хорд более короткая, находясь дальше отцентра, стягивает меньший угол с вершиной в центре и, следовательно, меньший острый угол с вершиной на окружности.

Лемма 2. В треугольнике с двумя различными углами меньший угол обладает большей биссектрисой.

Доказательство. Пусть ABC — треугольник, в котором Пусть отрезки BM и CNделят пополам углы В и С соответственно. Наша задача — доказать, что BM > CN.

Возьмем точку M' на отрезке BM так, чтобы Так как этот угол равен углу то четыре точки лежат на одной окружности.

Поскольку

то

По лемме 1 Следовательно,

Теперь докажем теорему Штейнера–Лемуса.

Предположим, что в треугольнике т.е. признак равнобедренного треугольника не выполняется. Тогда по лемме 2 что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение о невыполнении равенства неверно.

 

б) Пусть угол при основании треугольника высота, проведенная к основанию, тогда: в по теореме синусов:

 

 

 

Поскольку отрицательное значение нас не интересует. Итак,

 

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 132.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Треугольники