Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 527710
i

В тра­пе­ции ABCD от­но­ше­ние ос­но­ва­ний AD : BC  =  5 : 2. Точка M лежит на AB, пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна 20.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка MCD не пре­вос­хо­дит 15.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние AM : MB, если из­вест­но, что пло­щадь тре­уголь­ни­ка МСD равна 9.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть BC=2x, AD=5x. Про­ведём пря­мую MN па­рал­лель­но AD. Пусть h1  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка CMN, про­ведённая к MN, h2  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка DMN, про­ведённая к MN, h  — вы­со­та ABCD. Сле­до­ва­тель­но,

S_MCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MN умно­жить на h_1 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MN h_2= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MNh.

Пусть AM=a, MB=b. Сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: MN минус BC, зна­ме­на­тель: AD минус BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби ,

MN=BC плюс левая круг­лая скоб­ка AD минус BC пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: b, зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби =2x плюс дробь: чис­ли­тель: 3xb, зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби = дробь: чис­ли­тель: x левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 5b пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 5a плюс 5b пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби =5x.

Тогда

S_MCD мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 5x умно­жить на h= дробь: чис­ли­тель: 5x}2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: S_ABCD умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 7x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби S_ABCD= дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 1 конец дроби 00, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби мень­ше 15.

б)  Пусть

S_MCD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2a плюс 5b, зна­ме­на­тель: a плюс b конец дроби умно­жить на h=9 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби xh умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2a плюс 5b, зна­ме­на­тель: 7a плюс 7b конец дроби =9

рав­но­силь­но 20 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 2a плюс 5b, зна­ме­на­тель: 7a плюс 7b конец дроби =9 рав­но­силь­но 40a плюс 100b=63a плюс 63b рав­но­силь­но 23a=37b рав­но­силь­но a:b=37:23.

Таким об­ра­зом, AM:MB=37:23.

 

Ответ: AM:MB=37:23.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 281
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Свой­ства высот
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025